Contoh Soal dan Pembahasan Translasi Matematika
Translasi adalah salah satu transformasi geometri yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak tertentu dalam arah tertentu. Dalam matematika, translasi sering kali digunakan untuk menggeser objek dalam satu arah tanpa mengubah bentuk atau orientasi objek tersebut. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal dan pembahasan terkait translasi matematika sehingga pembaca bisa memahami konsep ini dengan lebih baik.
Konsep Dasar Translasi
Translasi pada koordinat dua dimensi dapat dinyatakan dengan notasi vektor. Jika titik A(x, y) ditranslasikan oleh vektor \((a, b)\), maka titik hasil translasi A’ (\(x’\), \(y’\)) dapat dihitung dengan rumus:
\[ x’ = x + a \]
\[ y’ = y + b \]
Dimana:
– \( (x, y) \) adalah koordinat awal,
– \( (a, b) \) adalah vektor translasi,
– \( (x’, y’) \) adalah koordinat hasil translasi.
Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut adalah beberapa contoh soal mengenai translasi matematika beserta pembahasannya:
Contoh Soal 1:
Soal:
Titik A berada pada koordinat (3, 4). Translasikan titik A dengan vektor \( (5, -2) \). Tentukan koordinat baru titik A.
Pembahasan:
Diketahui:
\[ \text{Koordinat asli titik A} = (3, 4) \]
\[ \text{Vektor translasi} = (5, -2) \]
Gunakan rumus translasi:
\[ x’ = x + a \]
\[ y’ = y + b \]
Substitusikan nilai:
\[ x’ = 3 + 5 = 8 \]
\[ y’ = 4 + (-2) = 2 \]
Jadi, koordinat baru titik A setelah ditranslasikan adalah \( (8, 2) \).
Contoh Soal 2:
Soal:
Sebuah segitiga memiliki koordinat titik puncak \( A(1, 2) \), \( B(3, 5) \), dan \( C(6, 1) \). Translasikan segitiga tersebut dengan vektor \( (-2, 4) \). Tentukan koordinat titik puncak segitiga setelah translasi.
Pembahasan:
Diketahui koordinat puncak segitiga dan vektor translasi.
Koordinat titik A’:
\[ x’ = 1 + (-2) = -1 \]
\[ y’ = 2 + 4 = 6 \]
Maka, \( A’ = (-1, 6) \).
Koordinat titik B’:
\[ x’ = 3 + (-2) = 1 \]
\[ y’ = 5 + 4 = 9 \]
Maka, \( B’ = (1, 9) \).
Koordinat titik C’:
\[ x’ = 6 + (-2) = 4 \]
\[ y’ = 1 + 4 = 5 \]
Maka, \( C’ = (4, 5) \).
Jadi, setelah dilakukan translasi, koordinat titik puncak segitiga baru adalah \( A'(-1, 6) \), \( B'(1, 9) \), dan \( C'(4, 5) \).
Contoh Soal 3:
Soal:
Diberikan titik P pada koordinat \( (-3, 0) \). Tentukan hasil translasi titik P oleh vektor \( (7, -5) \).
Pembahasan:
Diketahui koordinat P dan vektor translasi.
Gunakan rumus translasi:
\[ x’ = x + a \]
\[ y’ = y + b \]
Substitusikan nilai:
\[ x’ = -3 + 7 = 4 \]
\[ y’ = 0 + (-5) = -5 \]
Jadi, koordinat hasil translasi titik P adalah \( (4, -5) \).
Contoh Soal 4:
Soal:
Titik Q terletak pada koordinat \( (4, -3) \). Jika titik Q ditranslasikan sehingga koordinat baru menjadi \( (9, 1) \), tentukan vektor translasi yang digunakan.
Pembahasan:
Diketahui:
\[ \text{Koordinat awal} = (4, -3) \]
\[ \text{Koordinat hasil} = (9, 1) \]
Gunakan rumus translasi untuk menemukan vektor \( (a, b) \):
\[ x’ = x + a \]
\[ y’ = y + b \]
Diketahui hasil translasi:
\[ 9 = 4 + a \]
\[ 1 = -3 + b \]
Maka, vektor translasi dapat dihitung sebagai berikut:
\[ a = 9 – 4 = 5 \]
\[ b = 1 + 3 = 4 \]
Jadi, vektor translasi yang digunakan adalah \( (5, 4) \).
Contoh Soal 5:
Soal:
Segi empat ABCD dengan titik-titik sudutnya \( A(1, 2) \), \( B(1, 5) \), \( C(4, 5) \), dan \( D(4, 2) \). Translasikan segi empat tersebut dengan vektor \( (3, -1) \). Tentukan koordinat baru dari segi empat ABCD.
Pembahasan:
Diketahui:
\[ \text{Vektor translasi} = (3, -1) \]
Koordinat titik A’:
\[ x’ = 1 + 3 = 4 \]
\[ y’ = 2 + (-1) = 1 \]
Maka, \( A’ = (4, 1) \).
Koordinat titik B’:
\[ x’ = 1 + 3 = 4 \]
\[ y’ = 5 + (-1) = 4 \]
Maka, \( B’ = (4, 4) \).
Koordinat titik C’:
\[ x’ = 4 + 3 = 7 \]
\[ y’ = 5 + (-1) = 4 \]
Maka, \( C’ = (7, 4) \).
Koordinat titik D’:
\[ x’ = 4 + 3 = 7 \]
\[ y’ = 2 + (-1) = 1 \]
Maka, \( D’ = (7, 1) \).
Jadi, koordinat baru dari segi empat ABCD setelah translasi adalah \( A'(4, 1) \), \( B'(4, 4) \), \( C'(7, 4) \), dan \( D'(7, 1) \).
Kesimpulan
Translasi adalah transformasi yang sangat dasar namun penting dalam geometri. Menguasai teknik ini memungkinkan kita untuk melakukan berbagai operasi geometri seperti menggeser objek tanpa mengubah bentuk atau ukuran objek tersebut.
Dengan memahami konsep translasi melalui berbagai contoh soal yang telah dibahas di atas, diharapkan pembaca dapat lebih memahami dan menerapkan konsep ini dalam berbagai soal maupun dalam kehidupan nyata. Translasi tidak hanya bermanfaat dalam matematika tetapi juga dalam berbagai bidang lain termasuk fisika, komputer grafis, dan desain.
