Contoh Soal Pembahasan Transformasi pada Bidang Kartesius
Transformasi pada bidang Kartesius adalah salah satu topik penting dalam matematika, terutama dalam geometri. Transformasi ini melibatkan berbagai operasi seperti translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi yang bertujuan untuk memindahkan atau mengubah bentuk suatu objek dalam bidang dua dimensi. Artikel ini akan mengulas beberapa contoh soal dan pembahasannya terkait transformasi pada bidang Kartesius.
Jenis-jenis Transformasi
Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita tinjau terlebih dahulu jenis-jenis transformasi berikut ini:
1. Translasi (Pergeseran)
Translasi adalah pergeseran suatu titik atau objek dalam bidang dengan jarak tertentu ke arah tertentu. Translasi dapat didefinisikan sebagai:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
di mana \(a\) dan \(b\) adalah jarak pergeseran horizontal dan vertikal.
2. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi adalah pencerminan suatu titik atau objek terhadap suatu sumbu, baik sumbu-x, sumbu-y, atau garis lain. Misalnya, refleksi terhadap sumbu-x:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
3. Rotasi (Puteran)
Rotasi adalah putaran suatu titik atau objek di sekitar titik pusat dengan sudut tertentu. Rotasi berlawanan dengan arah jarum jam dengan sudut \(\theta\) dapat dinyatakan sebagai:
\[
(x, y) \rightarrow (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Dilatasi (Penskalaan)
Dilatasi adalah perubahan ukuran suatu objek dengan faktor skala tertentu. Jika faktor skala adalah \(k\), dilatasi dapat dinyatakan sebagai:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1: Translasi
Soal:
Lakukan translasi pada titik \(A(2, 3)\) dengan pergeseran 5 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas.
Pembahasan:
Translasi \(5\) satuan ke kanan berarti menambah koordinat x dengan \(5\). Pernyataan “4 satuan ke atas” berarti menambah koordinat y dengan \(4\). Maka hasil translasi adalah:
\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]
Sehingga titik \(A(2, 3)\) setelah translasi menjadi:
\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]
Jadi, titik \(A(2, 3)\) setelah translasi adalah \(A'(7, 7)\).
Soal 2: Refleksi
Soal:
Refleksikan titik \(B(-4, 7)\) terhadap sumbu-y.
Pembahasan:
Refleksi terhadap sumbu-y mengubah koordinat x menjadi negatif dari koordinat x semula, sedangkan koordinat y tetap.
\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]
Sehingga titik \(B(-4, 7)\) setelah refleksi menjadi:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
Jadi, titik \(B(-4, 7)\) setelah refleksi terhadap sumbu-y adalah \(B'(4, 7)\).
Soal 3: Rotasi
Soal:
Rotasikan titik \(C(1, 2)\) sebesar \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam dengan pusat pada titik asal \((0, 0)\).
Pembahasan:
Rotasi sebesar \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam dapat dinyatakan sebagai:
\[
(x, y) \rightarrow (-y, x)
\]
Sehingga titik \(C(1, 2)\) setelah rotasi menjadi:
\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]
Jadi, titik \(C(1, 2)\) setelah rotasi sebesar \(90^\circ\) berlawanan arah jarum jam adalah \(C'(-2, 1)\).
Soal 4: Dilatasi
Soal:
Dilatasikan titik \(D(3, 4)\) dengan faktor skala \(k = 2\).
Pembahasan:
Dilatasi dengan faktor skala \(2\) berarti mengalikan kedua koordinat dengan \(2\).
\[
(x, y) \rightarrow (2x, 2y)
\]
Sehingga titik \(D(3, 4)\) setelah dilatasi menjadi:
\[
(x, y) \rightarrow (2 \times 3, 2 \times 4) \rightarrow (6, 8)
\]
Jadi, titik \(D(3, 4)\) setelah dilatasi dengan faktor skala \(2\) adalah \(D'(6, 8)\).
Soal 5: Kombinasi Transformasi
Soal:
Lakukan refleksi terhadap sumbu-x kemudian dilatasi dengan faktor skala \(k = 0.5\) pada titik \(E(8, -6)\).
Pembahasan:
Langkah pertama adalah melakukan refleksi terhadap sumbu-x:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \rightarrow (8, 6)
\]
Langkah kedua adalah melakukan dilatasi dengan faktor skala \(0.5\):
\[
(x, y) \rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 \times 8, 0.5 \times 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Jadi, titik \(E(8, -6)\) setelah refleksi terhadap sumbu-x dan dilatasi dengan faktor skala \(0.5\) adalah \(E'(4, 3)\).
Soal 6: Transformasi dengan Rotasi dan Translasi
Soal:
Rotasikan titik \(F(-3, 4)\) sebesar \(180^\circ\) berlawanan arah jarum jam, kemudian translasikan hasilnya dengan vektor \((2, -1)\).
Pembahasan:
Langkah pertama adalah melakukan rotasi sebesar \(180^\circ\) berlawanan arah jarum jam:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \rightarrow (3, -4)
\]
Langkah kedua adalah melakukan translasi dengan vektor \((2, -1)\):
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \rightarrow (3+2, -4-1) \rightarrow (5, -5)
\]
Jadi, titik \(F(-3, 4)\) setelah rotasi \(180^\circ\) dan translasi oleh vektor \((2, -1)\) adalah \(F'(5, -5)\).
Kesimpulan
Transformasi pada bidang Kartesius merupakan konsep penting dalam geometri yang mencakup berbagai jenis operasi seperti translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Dengan memahami bagaimana setiap jenis transformasi bekerja, kita dapat dengan mudah mengubah posisi atau bentuk suatu objek pada bidang. Melalui contoh soal di atas, kita dapat melihat aplikasi praktis dari berbagai transformasi dan bagaimana mereka dapat digabungkan untuk mencapai transformasi yang lebih kompleks. Semoga artikel ini bermanfaat dalam membantu memahami transformasi pada bidang Kartesius.
