Contoh Soal Pembahasan Operasi Vektor
Operasi vektor merupakan salah satu konsep fundamental dalam matematika yang sering muncul dalam berbagai bidang penelitian seperti fisika, teknik, dan ilmu komputer. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal beserta penyelesaian dari operasi vektor untuk memberikan pemahaman yang lebih mendalam dan konkret. Contoh-contoh ini akan mencakup operasi dasar seperti penjumlahan dan pengurangan vektor, serta operasi lanjutan seperti perkalian skalar dan vektor silang.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Contoh Soal 1
Diberikan dua vektor A dan B dalam bentuk komponen:
\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Hitung hasil penjumlahan dan pengurangan dari kedua vektor tersebut.
Pembahasan
Untuk penjumlahan vektor, kita menambahkan setiap komponen yang bersesuaian dari kedua vektor.
\[ \mathbf{A} + \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ 3 + 4 \\ -1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix} \]
Untuk pengurangan vektor, kita mengurangkan setiap komponen yang bersesuaian dari kedua vektor.
\[ \mathbf{A} – \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – (-1) \\ 3 – 4 \\ -1 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]
2. Perkalian Skalar dengan Vektor
Contoh Soal 2
Diberikan vektor C dan skalar k :
\[ \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ k = 4 \]
Hitung hasil perkalian skalar dari vektor C dengan skalar k .
Pembahasan
Perkalian skalar dengan vektor dilakukan dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan skalar tersebut.
\[ k \mathbf{C} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 12 \end{pmatrix} \]
3. Perkalian Titik (Dot Product)
Contoh Soal 3
Diberikan dua vektor D dan E :
\[ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{E} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]
Hitung hasil perkalian titik (dot product) dari kedua vektor tersebut.
Pembahasan
Perkalian titik dari dua vektor dihasilkan dengan menjumlahkan hasil kali komponen-komponen yang bersesuaian.
\[ \mathbf{D} \cdot \mathbf{E} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 – 4 = -1 \]
4. Perkalian Silang (Cross Product)
Contoh Soal 4
Diberikan dua vektor F dan G :
\[ \mathbf{F} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Hitung hasil perkalian silang (cross product) dari kedua vektor tersebut.
Pembahasan
Perkalian silang dari dua vektor dalam ruang tiga dimensi dihasilkan dengan menggunakan determinan dari matriks yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut. Perkalian silang diberikan oleh formula:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \]
Ini dapat dihitung dengan cara berikut:
\[
\mathbf{F} \times \mathbf{G} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} – \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
\]
Menghitung determinan dari masing-masing submatriks:
\[
= \mathbf{i} (3 \cdot 2 – 4 \cdot -1) – \mathbf{j} (2 \cdot 2 – 4 \cdot 1) + \mathbf{k} (2 \cdot -1 – 3 \cdot 1)
\]
\[
= \mathbf{i} (6 + 4) – \mathbf{j} (4 – 4) + \mathbf{k} (-2 – 3)
\]
\[
= \mathbf{i} (10) – \mathbf{j} (0) + \mathbf{k} (-5)
\]
\[
= \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}
\]
Jadi, hasil perkalian silang dari F dan G adalah:
\[ \mathbf{F} \times \mathbf{G} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} \]
5. Menentukan Sudut antara Dua Vektor
Contoh Soal 5
Diberikan dua vektor H dan I :
\[ \mathbf{H} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \]
\[ \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Tentukan sudut antara kedua vektor tersebut.
Pembahasan
Sudut \(\theta\) antara dua vektor dapat ditemukan dengan menggunakan hubungan antara dot product dan magnitudo dari kedua vektor:
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = \| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \| \cos \theta \]
Pertama, hitung dot product \( \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} \):
\[ \mathbf{H} \cdot \mathbf{I} = 6 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) = 6 + 8 – 6 = 8 \]
Selanjutnya, hitung magnitudo dari kedua vektor:
\[ \| \mathbf{H} \| = \sqrt{6^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]
\[ \| \mathbf{I} \| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]
Kemudian, substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus sudut:
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{H} \cdot \mathbf{I}}{\| \mathbf{H} \| \| \mathbf{I} \|} = \frac{8}{7\sqrt{21}} \]
\[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{8}{7\sqrt{21}} \right) \]
Sebagai hasil akhir, kita bisa menggunakan kalkulator untuk menemukan nilai dari sudut:
\[ \theta \approx 73,4^\circ \]
Kesimpulan
Konsep operasi vektor sangat penting dalam bidang matematika dan sains. Artikel ini membahas beberapa contoh soal dan solusinya, mulai dari penjumlahan dan pengurangan vektor, perkalian skalar, perkalian titik, perkalian silang, hingga penentuan sudut antara dua vektor. Dengan praktis mengerjakan contoh-contoh ini, diharapkan pemahaman Anda tentang operasi vektor dapat meningkat dan membantu Anda dalam menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan vektor dalam berbagai konteks.
