Contoh Soal Pembahasan Kombinasi
Kombinasi adalah salah satu konsep penting dalam teori peluang dan statistik yang memungkinkan kita menghitung jumlah cara untuk memilih objek dari suatu kumpulan tanpa memperhatikan urutan. Dalam kombinasi, urutan pemilihan tidak diubah, berbeda dengan permutasi di mana urutan pilihan adalah kunci utama. Kombinasi digunakan dalam berbagai bidang, mulai dari ilmu komputer, biologi, ekonomi hingga matematika. Artikel ini akan menjelaskan konsep dasar kombinasi dan memberikan beberapa contoh soal serta pembahasan untuk membantu pemahaman Anda.
Konsep Dasar Kombinasi
Sebelum kita melangkah ke contoh soal, mari kita mulai dengan pemahaman dasar tentang kombinasi.
Kombinasi dari \(n\) objek diambil \(r\) pada suatu waktu dinyatakan dengan notasi \(\binom{n}{r}\) atau \(\mathbf{C}(n, r)\). Rumus untuk menghitung kombinasi adalah:
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]
– \( n \) adalah total objek yang tersedia.
– \( r \) adalah jumlah objek yang ingin dipilih.
– ! (faktorial) adalah operasi matematika yang mengalikan bilangan itu dengan semua bilangan positif di bawahnya sampai 1.
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1: Memilih Tim dari Sekelompok Siswa
Soal:
Ada 10 siswa dalam sebuah kelas. Berapa banyak cara untuk memilih 4 siswa dari kelas tersebut untuk mengikuti kompetisi?
Pembahasan:
Menggunakan rumus kombinasi:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot (10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]
Menghitung faktorial:
– \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \)
– \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
– \( 6! \) sudah ada di atas, sehingga bisa saling menghilangkan dengan 6! di \(10!\).
Jadi:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]
Jadi, ada 210 cara untuk memilih 4 siswa dari 10 siswa.
Contoh Soal 2: Kombinasi Menggunakan Set Kartul
Soal:
Dari dek 52 kartu, berapa banyak cara untuk memilih tangan poker 5 kartu?
Pembahasan:
Menggunakan rumus kombinasi:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52!}{5! \cdot (52-5)!} = \frac{52!}{5! \cdot 47!} \]
Menghitung faktorial:
– \( 52! = 52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48 \times 47! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
– \( 47! \) sudah ada di atas, sehingga bisa saling menghilangkan dengan 47! di \(52!\).
Jadi:
\[ \binom{52}{5} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311875200}{120} = 2598960 \]
Jadi, ada 2,598,960 cara untuk memilih 5 kartu dari 52 kartu.
Contoh Soal 3: Menghitung Kombinasi untuk Seleksi Tim Olahraga
Soal:
Sebuah tim basket terdiri dari 15 pemain. Jika pelatih ingin memilih 5 pemain sebagai starter, berapa banyak cara yang bisa dilakukan?
Pembahasan:
Menggunakan rumus kombinasi:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15!}{5! \cdot (15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} \]
Menghitung faktorial:
– \( 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
– \( 10! \) sudah ada di atas, sehingga bisa saling menghilangkan dengan 10! di \(15!\).
Jadi:
\[ \binom{15}{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{360360}{120} = 3003 \]
Jadi, ada 3,003 cara untuk memilih 5 pemain dari 15 pemain.
Contoh Soal 4: Kombinasi dalam Biologi
Soal:
Di sebuah kebun, ada 8 jenis bunga berbeda. Berapa banyak cara untuk memilih 3 jenis bunga untuk dijadikan rangkaian bunga?
Pembahasan:
Menggunakan rumus kombinasi:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} \]
Menghitung faktorial:
– \( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5! \)
– \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
– \( 5! \) sudah ada di atas, sehingga bisa saling menghilangkan dengan 5! di \(8!\).
Jadi:
\[ \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 \]
Jadi, ada 56 cara untuk memilih 3 jenis bunga dari 8 jenis bunga.
Contoh Soal 5: Kombinasi dalam Penyusunan Tim
Soal:
Anda mempunyai 12 buku yang berbeda dalam sebuah rak buku. Berapa banyak cara memilih 5 buku dari 12 buku?
Pembahasan:
Menggunakan rumus kombinasi:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12!}{5! \cdot (12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} \]
Menghitung faktorial:
– \( 12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7! \)
– \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
– \( 7! \) sudah ada di atas, sehingga bisa saling menghilangkan dengan 7! di \(12!\).
Jadi:
\[ \binom{12}{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{95040}{120} = 792 \]
Jadi, ada 792 cara untuk memilih 5 buku dari 12 buku.
Kesimpulan
Kombinasi merupakan konsep yang sangat berguna dalam berbagai bidang, terutama ketika kita perlu mengetahui jumlah cara dalam memilih objek tanpa memperhatikan urutan. Dengan rumus dasar kombinasi \(\binom{n}{r}\), kita bisa menghitungnya dengan cepat dan mudah, selama kita memahami bagaimana cara kerja faktorial. Melalui contoh-contoh soal di atas, diharapkan pemahaman tentang kombinasi menjadi lebih lengkap dan jelas. Teruslah berlatih dengan berbagai variasi soal untuk semakin memperkuat pemahaman Anda.
