Contoh Soal dan Pembahasan Satu Jenis Perbandingan Trigonometri: tan θ
Trigonometri adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan panjang sisi dalam segitiga. Salah satu rasio trigonometri yang sering dibahas adalah tangen (tan). Pada artikel ini, kita akan fokus pada penggunaan rasio tan dalam berbagai jenis masalah serta membahas beberapa contoh soal yang melibatkan tan θ.
Definisi tan θ
Tangen dari sebuah sudut θ didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi depan (opposite) dan panjang sisi samping yang berdekatan (adjacent) dalam segitiga siku-siku. Secara matematis, ini dituliskan sebagai:
\[ \tan θ = \frac{\text{sisi depan (opposite)}}{\text{sisi samping (adjacent)}} \]
Dalam lingkaran satuan, tan juga bisa diartikan sebagai perbandingan antara koordinat y (sisi depan) dan koordinat x (sisi samping) dari sebuah titik pada lingkaran yang berjarak satu satuan dari pusat.
Fungsi tan dalam Matematika dan Fisika
Trigonometri, khususnya fungsi tan, digunakan dalam berbagai aplikasi matematika dan fisika. Contohnya dalam fisika klasik, tan digunakan dalam analisis gerak proyektil dan pada bidang teknik, fungsi ini dipakai dalam perhitungan sudut kemiringan atau gradien suatu permukaan.
Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut ini beberapa contoh soal beserta pembahasannya untuk memahami penggunaan tan θ lebih dalam.
Soal 1: Menghitung tan θ dari segitiga siku-siku
Diketahui: Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang sisi depan yang berhadapan dengan sudut θ sepanjang 4 cm dan sisi samping yang berdekatan dengan sudut θ sepanjang 3 cm. Hitung nilai tan θ.
Pembahasan:
Gunakan definisi tan:
\[ \tan θ = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \]
Substitusikan nilai yang diketahui:
\[ \tan θ = \frac{4}{3} \]
Jadi, nilai tan θ adalah \( \frac{4}{3} \).
Soal 2: Menentukan panjang sisi menggunakan tan θ
Diketahui: Sebuah segitiga siku-siku dengan sudut θ diketahui bahwa tan θ = 0.75. Panjang sisi samping yang berdekatan dengan sudut θ adalah 8 cm. Hitung panjang sisi depan yang berhadapan dengan sudut θ.
Pembahasan:
Gunakan definisi tan untuk mencari panjang sisi yang berhadapan:
\[ \tan θ = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} \]
\[ 0.75 = \frac{\text{sisi depan}}{8} \]
Kalikan kedua sisi dengan 8 untuk memecahkan persamaan.
\[ \text{sisi depan} = 0.75 \times 8 \]
\[ \text{sisi depan} = 6 cm \]
Jadi, panjang sisi depan adalah 6 cm.
Soal 3: Menghitung sudut θ jika diketahui tan θ
Diketahui: Sebuah segitiga siku-siku diketahui bahwa tan θ = 1. Nama sudut θ.
Pembahasan:
Tan dari sebuah sudut sama dengan 1 ketika sisi depan dan sisi samping adalah sama panjangnya. Dalam trigonometri dasar, ini terjadi pada sudut 45°.
Oleh karena itu, nilai θ adalah 45°.
Soal 4: Menggunakan Tan θ dalam soal aljabar
Diketahui: Sebuah tali diikat dari puncak tiang yang tingginya 15 meter ke titik di tanah yang terletak 20 meter dari dasar tiang. Hitung tan θ, di mana θ adalah sudut yang dibentuk oleh tali dan tiang.
Pembahasan:
Gunakan definisi tan:
\[ \tan θ = \frac{\text{sisi depan (tinggi tiang)}}{\text{sisi samping (jarak horizontal)}} \]
\[ \tan θ = \frac{15}{20} \]
Sederhanakan pecahan:
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Jadi, nilai tan θ adalah \( \frac{3}{4} \).
Soal 5: Menentukan ketinggian dari jarak dan sudut kemiringan
Diketahui: Seorang pengamat berdiri 100 meter dari sebuah gedung tinggi. Tan θ pengamatan dari tempat pengamat ke puncak gedung adalah \(\tan 30^\circ\). Tentukan tinggi gedung tersebut.
Pembahasan:
Diketahui \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
\[ \tan θ = \frac{\text{sisi depan (tinggi gedung)}}{\text{sisi samping (jarak)} } \]
Plug the known values into the equation
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{tinggi gedung}}{100} \]
Multiply both sides by 100 to isolate the height.
\[ \text{tinggi gedung} = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ \text{tinggi gedung} = \frac{100 \times \sqrt{3}}{3} \]
\[ \text{tinggi gedung} ≈ 57.73 \text{ meter} \]
Jadi, tinggi gedung tersebut kira-kira 57.73 meter.
Soal 6: Menentukan sudut dari ketinggian dan jarak
Diketahui: Anda mengetahui tinggi suatu menara adalah 50 meter dan jarak mendatar dari titik pengamatan ke bawah menara adalah 70 meter. Tentukan sudut elevasi ke puncak menara.
Pembahasan:
\[ \tan θ = \frac{\text{tinggi menara}}{\text{jarak mendatar}} \]
\[ \tan θ = \frac{50}{70} \]
\[ \tan θ = \frac{5}{7} \]
Untuk menemukan θ, kita menggunakan fungsi invers tangen (tan⁻¹) atau arctan.
\[ θ = \tan⁻¹ (\frac{5}{7}) \]
Menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri, kita dapat menemukan nilai θ.
\[ θ ≈ 35.54° \]
Jadi, sudut elevasi ke puncak menara adalah sekitar 35.54°.
Kesimpulan
Trigonometri adalah alat yang sangat berguna dalam banyak bidang ilmu. Tangen, salah satunya, adalah rasio yang sederhana namun kuat dalam menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan sudut dan panjang sisi. Dengan memahami definisi dan bagaimana menggunakannya, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah geometri dan fisika. Dengan berlatih soal-soal seperti contoh di atas, kita bisa semakin terampil menggunakan tan θ dalam perhitungan sehari-hari.
