Contoh Soal Pembahasan Rotasi Matematika
Pendahuluan
Rotasi adalah salah satu transformasi geometris yang sering ditemukan dalam studi matematika, khususnya geometri. Dalam rotasi, suatu objek diputar di sekitar titik tertentu (pusat rotasi) dengan sudut tertentu dalam arah searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam. Penerapan konsep rotasi sangat penting dalam bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, seperti grafis komputer, fisika, dan teknik. Artikel ini akan membahas berbagai contoh soal dan pembahasan mengenai rotasi dalam matematika.
Pengertian Rotasi
Rotasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik suatu objek dengan cara memutarnya terhadap suatu titik tetap, disebut pusat rotasi, dengan sudut tertentu dalam arah tertentu. Notasi umum untuk rotasi dengan sudut θ dan pusat rotasi (a, b) bisa dituliskan sebagai R_(a, b)(θ).
Untuk suatu titik P(x, y) yang diputar sejauh θ derajat dengan pusat rotasi di titik asal (0, 0), koordinat baru P’ (x’, y’) setelah rotasi akan diperoleh menggunakan rumus:
– x’ = x cos θ – y sin θ
– y’ = x sin θ + y cos θ
Mari kita lanjutkan dengan beberapa contoh soal rotasi lengkap dengan pembahasannya.
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1
Soal: Tentukan koordinat baru dari titik A(3, 4) setelah diputar sejauh 90 derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi di titik asal (0, 0).
Pembahasan: Menggunakan rumus rotasi dengan sudut 90 derajat berlawanan arah jarum jam:
– x’ = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y’ = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Jadi, koordinat baru A’ setelah rotasi adalah (-4, 3).
Contoh Soal 2
Soal: Titik B(2, -1) diputar 180 derajat dalam arah searah jarum jam dengan pusat rotasi tetap di titik asal (0, 0). Tentukan koordinat baru titik B setelah rotasi.
Pembahasan: Rotasi 180 derajat baik searah maupun berlawanan arah jarum jam memberikan hasil yang sama, yaitu koordinat titik berubah menjadi (-x, -y).
– x’ = -x = -2
– y’ = -y = 1
Jadi, koordinat baru B’ adalah (-2, 1).
Contoh Soal 3
Soal: Sebuah titik C(-3, 5) diputar 270 derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi di titik asal (0, 0). Tentukan titik C setelah rotasi.
Pembahasan: Rotasi 270 derajat berlawanan arah jarum jam setara dengan rotasi 90 derajat searah jarum jam.
– x’ = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y’ = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Jadi, koordinat baru C’ setelah rotasi adalah (5, -3).
Contoh Soal 4
Soal: Tentukan koordinat baru dari titik D(5, 5) setelah diputar sejauh 45 derajat dengan pusat rotasi di titik asal (0, 0).
Pembahasan: Menggunakan rumus rotasi dengan sudut 45 derajat:
– x’ = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y’ = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Jadi, koordinat baru D’ setelah rotasi adalah (0, 5√2).
Rotasi dengan Pusat Rotasi Bukan di Titik Asal
Rotasi tidak selalu dilakukan terhadap titik asal. Misalnya, kita ingin memutar suatu titik dengan pusat rotasi (h, k). Untuk itu, kita perlu menyesuaikan koordinat dengan cara berikut:
1. Translasi titik sehingga (h, k) menjadi titik asal.
2. Gunakan rumus rotasi.
3. Translasi kembali ke posisi semula.
Contoh Soal 5
Soal: Titik E(5, 7) diputar 90 derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi di titik (2, 3). Tentukan koordinat baru dari titik E setelah rotasi.
Pembahasan:
1. Translasi titik E ke titik asal relatif terhadap pusat rotasi (2, 3):
– Titik baru E’ = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Lakukan rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik baru tersebut:
– x’ = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y’ = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Jadi, koordinat setelah rotasi adalah (-4, 3).
3. Translasi kembali ke posisi semula relatif terhadap pusat rotasi (2, 3):
– Titik akhir E’ = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Jadi, koordinat baru titik E setelah rotasi adalah (-2, 6).
Kesimpulan
Mengurai dan memahami rotasi matematika cukup penting dalam berbagai aplikasi. Melalui berbagai contoh dan pembahasan di atas, diharapkan pembaca bisa memahami cara kerja dan penerapan rumus rotasi untuk kasus-kasus berbeda. Latihan ini tidak hanya memperkuat fundamental dalam matematika tetapi juga bermanfaat dalam bidang ilmu lain yang melibatkan transformasi geometris.
