Contoh Soal Pembahasan Pertumbuhan Eksponen
Pertumbuhan eksponen adalah konsep penting dalam banyak bidang termasuk ekonomi, biologi, bisnis, dan fisika. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menemui situasi yang melibatkan pertumbuhan eksponen, seperti pertumbuhan populasi manusia, penyusutan nilai nominal karena inflasi, penyebaran virus, dan banyak lainnya. Artikel ini akan membahas berbagai contoh soal dan penyelesaiannya terkait pertumbuhan eksponen, sehingga pembaca dapat memahami konsep ini dengan lebih baik.
Konsep Dasar Pertumbuhan Eksponen
Pertumbuhan eksponen didefinisikan sebagai pertumbuhan yang terjadi pada tingkat yang tetap per satuan waktu. Secara matematis, pertumbuhan eksponen dapat didefinisikan dengan persamaan:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Di mana:
– \( N(t) \) adalah jumlah pada waktu \( t \)
– \( N_0 \) adalah jumlah awal
– \( k \) adalah laju pertumbuhan
– \( t \) adalah waktu
– \( e \) adalah bilangan Euler (sekitar 2.718)
Jika nilai \( k \) positif, maka kita memiliki pertumbuhan eksponensial. Sebaliknya, jika \( k \) negatif, kita memiliki penyusutan eksponensial.
Contoh Soal 1: Pertumbuhan Populasi
Soal
Suatu kota memiliki populasi awal sebesar 100,000 orang. Jika populasi kota tersebut bertambah dengan laju pertumbuhan eksponen sebesar 2% per tahun, berapakah populasi kota tersebut setelah 10 tahun?
Penyelesaian
Pertama, perlu kita identifikasi nilai-nilai yang diketahui:
– \( N_0 \) = 100,000
– \( k \) = 2% per tahun = 0.02
– \( t \) = 10 tahun
Kita akan menggunakan rumus pertumbuhan eksponen:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Masukkan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus:
\[ N(10) = 100,000 \cdot e^{0.02 \cdot 10} \]
\[ N(10) = 100,000 \cdot e^{0.2} \]
Aproksimasi nilai \( e^{0.2} \) adalah sekitar 1.2214.
\[ N(10) = 100,000 \cdot 1.2214 \]
\[ N(10) = 122,140 \]
Jadi, populasi kota tersebut setelah 10 tahun adalah sekitar 122,140 orang.
—
Contoh Soal 2: Nilai Investasi
Soal
Anda menabung uang sebesar $5,000 dalam rekening yang memberikan bunga tahunan yang tumbuh secara eksponensial sebesar 5% per tahun. Berapakah nilai tabungan anda setelah 15 tahun?
Penyelesaian
Identifikasi nilai:
– \( N_0 \) = 5,000
– \( k \) = 5% per tahun = 0.05
– \( t \) = 15 tahun
Menggunakan rumus pertumbuhan eksponen:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Masukkan nilai yang diketahui:
\[ N(15) = 5,000 \cdot e^{0.05 \cdot 15} \]
\[ N(15) = 5,000 \cdot e^{0.75} \]
Aproksimasi \( e^{0.75} \) adalah sekitar 2.117.
\[ N(15) = 5,000 \cdot 2.117 \]
\[ N(15) = 10,585 \]
Jadi, nilai tabungan anda setelah 15 tahun adalah sekitar $10,585.
—
Contoh Soal 3: Penyusutan Nilai Mobil
Soal
Nilai sebuah mobil baru seharga $30,000 berkurang secara eksponensial sebesar 12% per tahun. Berapakah nilai mobil tersebut setelah 5 tahun?
Penyelesaian
Identifikasi nilai:
– \( N_0 \) = 30,000
– \( k \) = -12% per tahun = -0.12
– \( t \) = 5 tahun
Menggunakan rumus pertumbuhan eksponen:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Masukkan nilai yang diketahui:
\[ N(5) = 30,000 \cdot e^{-0.12 \cdot 5} \]
\[ N(5) = 30,000 \cdot e^{-0.6} \]
Aproksimasi \( e^{-0.6} \) adalah sekitar 0.5488.
\[ N(5) = 30,000 \cdot 0.5488 \]
\[ N(5) = 16,464 \]
Jadi, nilai mobil tersebut setelah 5 tahun adalah sekitar $16,464.
—
Contoh Soal 4: Penyebaran Virus
Soal
Suatu kota dengan populasi awal 200 orang terinfeksi virus dengan laju pertumbuhan eksponen sebesar 15% per hari. Berapakah jumlah total orang yang terinfeksi setelah 7 hari?
Penyelesaian
Identifikasi nilai:
– \( N_0 \) = 200
– \( k \) = 15% per hari = 0.15
– \( t \) = 7 hari
Menggunakan rumus pertumbuhan eksponen:
\[ N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Masukkan nilai yang diketahui:
\[ N(7) = 200 \cdot e^{0.15 \cdot 7} \]
\[ N(7) = 200 \cdot e^{1.05} \]
Aproksimasi \( e^{1.05} \) adalah sekitar 2.857.
\[ N(7) = 200 \cdot 2.857 \]
\[ N(7) = 571.4 \]
Jadi, jumlah total orang yang terinfeksi setelah 7 hari adalah sekitar 571 orang.
—
Demikian contoh-contoh soal dan pembahasan terkait pertumbuhan eksponen. Memahami bagaimana memecahkan masalah pertumbuhan eksponen dapat sangat bermanfaat dalam berbagai aplikasi praktis di dunia nyata. Dengan latihan yang cukup, konsep ini dapat dengan mudah dikuasai dan diterapkan sesuai kebutuhan.
