Contoh Soal Pembahasan Persamaan Arus Bolak-Balik
Pendahuluan
Arus bolak-balik (AC) merupakan jenis arus listrik yang dapat berubah arah secara periodik. Berbeda dengan arus searah (DC) yang mengalir satu arah, AC memiliki bentuk gelombang sinusoidal dan sangat menentukan dalam berbagai aplikasi sehari-hari, mulai dari rumah tangga hingga industri. Mengetahui bagaimana cara bekerja dengan persamaan arus bolak-balik sangat penting untuk memahami beberapa aspek penting dalam elektronika dan kelistrikan. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal dan solusi untuk memperjelas konsep persamaan arus bolak-balik.
Persamaan Umum Arus Bolak-Balik
Arus bolak-balik umumnya dinyatakan dengan persamaan sinusoidal:
\[ i(t) = I_m \sin(\omega t + \phi) \]
di mana:
– \( i(t) \) adalah arus sesaat sebagai fungsi waktu.
– \( I_m \) adalah nilai puncak (maksimum) dari arus.
– \( \omega \) adalah kecepatan sudut, dengan satuan radian per detik.
– \( t \) adalah waktu.
– \( \phi \) adalah fase awal arus.
Contoh Soal 1: Menentukan Arus pada Waktu Tertentu
Soal:
Diberikan persamaan arus bolak-balik \( i(t) = 10 \sin(100\pi t + \pi/3) \). Tentukan besar arus pada saat \( t = 0.01 \) detik.
Pembahasan:
Diketahui:
\[ I_m = 10 \, \text{A} \]
\[ \omega = 100\pi \, \text{rad/s} \]
\[ \phi = \pi/3 \]
\[ t = 0.01 \, \text{detik} \]
Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan arus:
\[ i(0.01) = 10 \sin(100\pi \times 0.01 + \pi/3) \]
\[ i(0.01) = 10 \sin(\pi + \pi/3) \]
\[ i(0.01) = 10 \sin(4\pi/3) \]
Diketahui bahwa:
\[ \sin(4\pi/3) = -\sin(\pi/3) \]
\[ \sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2 \]
Maka:
\[ \sin(4\pi/3) = -\sqrt{3}/2 \]
\[ i(0.01) = 10 \times -\sqrt{3}/2 \]
\[ i(0.01) = -5\sqrt{3} \]
\[ i(0.01) \approx -8.66 \, \text{A} \]
Jadi, besar arus pada saat \( t = 0.01 \) detik adalah sekitar \(-8.66 \, \text{A} \).
Contoh Soal 2: Menentukan Kecepatan Sudut dan Frekuensi
Soal:
Untuk suatu arus bolak-balik yang dinyatakan dengan persamaan \( i(t) = 5 \cos(200\pi t – \pi/4) \), tentukan kecepatan sudut (ω) dan frekuensi (f) arus tersebut.
Pembahasan:
Diberikan:
\[ i(t) = 5 \cos(200\pi t – \pi/4) \]
Kecepatan sudut (\( \omega \)) adalah koefisien dari \( t \) dalam argumen cosinus, yaitu \( 200\pi \).
\[ \omega = 200\pi \, \text{rad/s} \]
Frekuensi (f) dapat diperoleh dengan menggunakan hubungan:
\[ \omega = 2\pi f \]
\[ f = \frac{\omega}{2\pi} \]
Substitusikan nilai kecepatan sudut:
\[ f = \frac{200\pi}{2\pi} \]
\[ f = 100 \, \text{Hz} \]
Jadi, kecepatan sudut arus adalah \( 200\pi \, \text{rad/s} \) dan frekuensi arus adalah \( 100 \, \text{Hz} \).
Contoh Soal 3: Menentukan Nilai RMS
Soal:
Untuk arus bolak-balik yang dinyatakan dengan \( i(t) = 7 \sin(50t) \), tentukan nilai RMS (root mean square).
Pembahasan:
Diketahui:
\[ i(t) = 7 \sin(50t) \]
Nilai RMS untuk arus sinusoidal adalah:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \]
di mana \( I_m \) adalah nilai puncak arus.
Nilai puncak dari arus \( I_m \) adalah 7 A.
Maka:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{7}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{7 \sqrt{2}}{2} \]
\[ I_{\text{RMS}} \approx 4.95 \, \text{A} \]
Jadi, nilai RMS untuk arus tersebut adalah sekitar 4.95 A.
Contoh Soal 4: Menghitung Daya Rata-Rata
Soal:
Sebuah rangkaian listrik terdiri dari resistor 10 ohm dan memiliki arus bolak-balik \( i(t) = 6 \sin(120\pi t) \). Hitung daya rata-rata yang dikonsumsi oleh resistor.
Pembahasan:
Diketahui arus:
\[ i(t) = 6 \sin(120\pi t) \]
Nilai puncak arus (\( I_m \)) adalah 6 A.
Nilai RMS dari arus adalah:
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \]
\[ I_{\text{RMS}} = 3\sqrt{2} \]
Resistor (\( R \)) = 10 ohm.
Daya rata-rata (\( P \)) dalam resistor dapat dihitung dengan:
\[ P = I_{\text{RMS}}^2 \times R \]
\[ P = (3\sqrt{2})^2 \times 10 \]
\[ P = 18 \times 10 \]
\[ P = 180 \, \text{W} \]
Jadi, daya rata-rata yang dikonsumsi oleh resistor adalah 180 W.
Penutup
Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh soal dan pembahasan terkait persamaan arus bolak-balik. Mengetahui cara menghitung arus pada waktu tertentu, kecepatan sudut, frekuensi, nilai RMS, dan daya rata-rata sangat penting dalam memahami arus bolak-balik dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Memahami konsep-konsep ini membantu kita dalam merancang dan menganalisis berbagai sirkuit listrik yang menggunakan arus bolak-balik.
