Contoh Soal Pembahasan Penulisan Turunan Fungsi
Penurunan fungsi adalah salah satu konsep fundamental dalam kalkulus yang sering digunakan dalam berbagai bidang ilmu, seperti fisika, ekonomi, biologi, dan teknik. Turunan dari suatu fungsi mengukur seberapa cepat nilai fungsi tersebut berubah terhadap perubahan variabel-variabel independennya. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal mengenai penulisan turunan fungsi, lengkap dengan pembahasannya.
Contoh Soal 1: Turunan Fungsi Sederhana
Soal: Carilah turunan pertama dari fungsi \( f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \).
Pembahasan:
Untuk menentukan turunan pertama dari suatu fungsi \( f(x) \), kita menggunakan aturan dasar diferensiasi, yaitu:
\[
\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}
\]
Maka, kita dapat menghitung turunan dari masing-masing suku dalam fungsi tersebut sebagai berikut:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7)
\]
\[
f'(x) = 3 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} + 0
\]
\[
f'(x) = 6x + 5
\]
Jadi, turunan pertama dari fungsi \( f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \) adalah \( f'(x) = 6x + 5 \).
Contoh Soal 2: Turunan Fungsi Trigonometri
Soal: Carilah turunan pertama dari fungsi \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \).
Pembahasan:
Kita menggunakan aturan turunan dasar untuk fungsi trigonometri:
\[
\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]
\[
\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)
\]
Maka:
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) + \frac{d}{dx}(\cos(x))
\]
\[
g'(x) = \cos(x) – \sin(x)
\]
Jadi, turunan pertama dari fungsi \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \) adalah \( g'(x) = \cos(x) – \sin(x) \).
Contoh Soal 3: Turunan Fungsi Perkalian
Soal: Carilah turunan pertama dari fungsi \( h(x) = x^2 \sin(x) \).
Pembahasan:
Untuk fungsi yang merupakan hasil perkalian dua fungsi, kita menggunakan aturan perkalian:
\[
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
Misalkan \( u(x) = x^2 \) dan \( v(x) = \sin(x) \). Maka:
\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]
Dengan menggunakan aturan perkalian, kita dapat menuliskan:
\[
h'(x) = [x^2]’ \sin(x) + x^2 [\sin(x)]’
\]
\[
h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)
\]
Jadi, turunan pertama dari fungsi \( h(x) = x^2 \sin(x) \) adalah \( h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \).
Contoh Soal 4: Turunan Fungsi Komposisi
Soal: Carilah turunan pertama dari fungsi \( k(x) = \sin(x^2) \).
Pembahasan:
Untuk fungsi yang merupakan komposisi dari dua fungsi, kita menggunakan aturan rantai:
\[
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]
Misalkan \( f(u) = \sin(u) \) dan \( u = x^2 \). Maka \( f'(u) = \cos(u) \) dan \( g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \).
Dengan menggunakan aturan rantai, kita dapat menuliskan:
\[
k'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x
\]
Jadi, turunan pertama dari fungsi \( k(x) = \sin(x^2) \) adalah \( k'(x) = 2x \cos(x^2) \).
Contoh Soal 5: Turunan Fungsi Rasional
Soal: Carilah turunan pertama dari fungsi \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \).
Pembahasan:
Untuk fungsi yang merupakan hasil bagi dua fungsi, kita menggunakan aturan hasil bagi:
\[
\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
Misalkan \( u(x) = 2x \) dan \( v(x) = x^2 + 1 \). Maka:
\[
u'(x) = 2
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
\]
Dengan menggunakan aturan hasil bagi, kita dapat menuliskan:
\[
m'(x) = \frac{[2x]'(x^2 + 1) – 2x[x^2 + 1]’}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2(x^2 + 1) – 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{-(2x^2 – 2)}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
Jadi, turunan pertama dari fungsi \( m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) adalah \( m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \).
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh soal penulisan turunan fungsi, mulai dari fungsi sederhana, trigonometri, perkalian, komposisi, hingga rasional. Masing-masing contoh menunjukkan penggunaan aturan turunan yang sesuai, seperti aturan dasar, aturan rantai, aturan perkalian, dan aturan hasil bagi. Memahami cara mengaplikasikan aturan-aturan ini sangat penting dalam menyelesaikan berbagai masalah kalkulus yang lebih kompleks di berbagai bidang ilmu. Praktik dan latihan berulang akan membantu memperkuat pemahaman dan keterampilan Anda dalam melakukan diferensiasi fungsi.
