Contoh Soal dan Pembahasan Penerapan Integral dalam Menghitung Luas Bidang Datar
Dalam pengajaran matematika, integral sering ditemukan dalam topik kalkulus. Salah satu penerapan integral yang paling dikenal adalah menghitung luas di bawah kurva atau bidang datar. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal dan pembahasan terkait penerapan integral dalam menghitung luas bidang datar.
Pengantar Teori
Sebelum beralih ke contoh soal, mari kita tinjau konsep dasar menghitung luas di bawah kurva menggunakan integral. Jika kita memiliki fungsi f(x) yang kontinu pada interval [a, b], maka luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari x = a ke x = b adalah:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Secara geometris, ini berarti kita menjumlahkan area rectangle yang sangat tipis dari x = a ke x = b.
Contoh Soal 1
Soal
Hitunglah luas daerah di bawah kurva y = x² pada interval [1, 3].
Pembahasan
Untuk menghitung luasnya, kita gunakan integral:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Kita mulai dengan mencari antiturunan dari \( x^2 \). Antiturunan dari \( x^2 \) adalah \( \frac{x^3}{3} \). Maka integral tersebut menjadi:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Ingat bahwa kita harus mengevaluasi antiturunan pada batas-batas integral:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Jadi, luas daerah di bawah kurva y = x² dari x = 1 hingga x = 3 adalah:
\[ \frac{26}{3} \, \text{satuan area} \]
Contoh Soal 2
Soal
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x³ dan garis x = 1 dan x = 2.
Pembahasan
Untuk menghitung luasnya, kita gunakan integral:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Seperti biasa, kita mulai dengan mencari antiturunan dari \( x^3 \). Antiturunan dari \( x^3 \) adalah \( \frac{x^4}{4} \). Integral tersebut menjadi:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Evaluasi batas-batas integral:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Jadi, luas daerah di bawah kurva y = x³ dari x = 1 hingga x = 2 adalah:
\[ \frac{15}{4} \, \text{satuan area} \]
Contoh Soal 3
Soal
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² + 1 dan y = 2x + 2 pada interval x = 0 sampai x = 1.
Pembahasan
Pertama, kita harus menemukan titik perpotongannya untuk menentukan batas integral. Solusi dari \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Dengan menggunakan rumus kuadrat:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Namun untuk batas atas dan bawah antara 0 sampai 1 kita tidak perlu memakai solusi kuadrat, cukup batas integral biasa 0 sampai 1. Selanjutnya menghitung luas kurva y teratas dikurangi kurva y terendah sesuai batas tersebut:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Simplifikasi fungsi:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Selanjutnya, kita mencari antiturunan:
Antiturunan \( (-x^2) \) adalah \( -\frac{x^3}{3} \),
Antiturunan \( (2x) \) adalah \( x^2 \),
Antiturunan \( (1) \) adalah \( x \).
Sehingga,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Selanjutnya evaluasi:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x² + 1 dan y = 2x + 2 pada interval [0, 1] adalah:
\[ \frac{5}{3} \, \text{satuan area} \]
—
Dari contoh-contoh di atas, kita dapat melihat bagaimana integral dapat digunakan untuk menghitung luas daerah di bawah sebuah kurva atau di antara dua kurva. Dengan pemahaman yang benar mengenai konsep dasar integral dan teknik antiturunan, menghitung luas ini menjadi sangat sistematis dan efisien. Semoga artikel ini bisa menambah pemahaman kita mengenai penerapan integral dalam dunia nyata, khususnya dalam bidang pengukuran luas bidang datar.
