Contoh Soal dan Pembahasan Korelasi Product Moment
Korelasi Product Moment atau yang dikenal juga sebagai Korelasi Pearson merupakan metode statistik yang digunakan untuk mengukur kekuatan dan arah hubungan linear antara dua variabel. Metode ini sangat berguna dalam berbagai bidang, baik itu pada penelitian akademik, analisis bisnis, hingga evaluasi eksperimen dalam ilmu pengetahuan alam. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal beserta pembahasannya dalam menghitung Korelasi Product Moment.
Pendahuluan
Sebelum masuk ke contoh soal, ada baiknya kita memahami konsep dasar dari Korelasi Product Moment. Rumus umum yang digunakan untuk menghitung koefisien korelasi Pearson (\( r \)) adalah:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Dimana:
– \( n \) adalah jumlah pasangan data.
– \( \sum{XY} \) adalah jumlah hasil kali dari \( X \) dan \( Y \).
– \( \sum{X} \) adalah jumlah dari variabel \( X \).
– \( \sum{Y} \) adalah jumlah dari variabel \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) adalah jumlah dari kuadrat variabel \( X \).
– \( \sum{Y^2} \) adalah jumlah dari kuadrat variabel \( Y \).
Koefisien korelasi Pearson (\( r \)) selalu berada di antara -1 dan 1. Korelasi positif menunjukkan bahwa kedua variabel bergerak ke arah yang sama, sedangkan korelasi negatif menunjukkan bahwa ketika satu variabel meningkat, variabel lainnya menurun. Jika \( r = 0 \), maka tidak ada korelasi linear antara kedua variabel tersebut.
Contoh Soal 1
Data
Berikut adalah data nilai ujian matematika dan fisika dari 5 siswa:
| Siswa | Matematika (X) | Fisika (Y) |
|——-|—————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Langkah-langkah Penyelesaian
1. Menghitung Komponen Penting :
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Memasukkan ke Rumus :
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Menghitung Hasil :
– Pembilang: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Penyebut:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \approx 0.633 \]
Jadi, koefisien korelasi Pearson antara nilai ujian matematika dan fisika adalah 0.633, yang menunjukkan bahwa ada korelasi positif yang moderat antara kedua variabel tersebut.
Contoh Soal 2
Data
Berikut adalah data nilai penjualan dan pengeluaran iklan dari 6 bulan pada sebuah perusahaan:
| Bulan | Iklan (X) | Penjualan (Y) |
|——-|———–|—————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Langkah-langkah Penyelesaian
1. Menghitung Komponen Penting :
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Memasukkan ke Rumus :
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Menghitung Hasil :
– Pembilang: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Penyebut:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \approx 0.981 \]
Jadi, koefisien korelasi Pearson antara nilai pengeluaran iklan dan penjualan adalah 0.981, yang menunjukkan bahwa ada korelasi positif yang sangat kuat antara kedua variabel tersebut.
Kesimpulan
Koefisien korelasi Pearson (\( r \)) adalah alat yang sangat berguna untuk memahami hubungan linear antara dua variabel. Dalam contoh-contoh yang diberikan, kita melihat bagaimana menghitung nilai \( r \) dan menafsirkannya. Korelasi yang lebih tinggi (dekat dengan 1 atau -1) menunjukkan hubungan yang lebih kuat, sementara korelasi yang lebih rendah (dekat dengan 0) menunjukkan hubungan yang lebih lemah. Penting untuk mengetahui bahwa korelasi tidak menyiratkan sebab-akibat, melainkan hanya menunjukkan bahwa ada hubungan antara dua variabel tersebut.
