Contoh Soal Pembahasan Komposisi Transformasi dengan Menggunakan Matriks
Transformasi geometri merupakan salah satu topik yang penting dalam ilmu matematika, terutama dalam bidang geometri dan aljabar linear. Transformasi ini dapat berupa translasi, rotasi, refleksi, dan dilatasi. Dalam artikel ini, kita akan mengkaji bagaimana komposisi dari berbagai jenis transformasi dapat diwakili dan diselesaikan menggunakan matriks. Kami juga akan memberikan contoh soal beserta pembahasannya.
1. Pengenalan Transformasi menggunakan Matriks
Transformasi geometri dapat direpresentasikan dengan matriks. Misalnya, transformasi rotasi, translasi, refleksi, dan dilatasi dapat dirumuskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
1. Translasi
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + a \\ y + b \end{pmatrix}
\]
2. Rotasi
\[
R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
\]
3. Refleksi terhadap sumbu X
\[
\text{Refleksi X} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
4. Dilatasi (pembesaran/penskalaan)
\[
D(k) = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
\]
2. Komposisi Transformasi dengan Matriks
Komposisi transformasi adalah penerapan dua atau lebih transformasi secara berurutan pada suatu objek. Untuk menghitung komposisi transformasi menggunakan matriks, kita cukup mengalikan matriks-matriks yang merepresentasikan transformasi tersebut.
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal
Diberikan titik P(2, 3). Tentukan hasil dari transformasi berikut:
1. Rotasi \(90^\circ\) searah jarum jam (CW)
2. Dilatasi dengan faktor skala 2
3. Translasi sebesar (1, -2)
Pembahasan
1. Rotasi \(90^\circ\) CW
Matriks untuk rotasi searah jarum jam sebesar \(90^\circ\):
\[
\begin{pmatrix} \cos(-90^\circ) & -\sin(-90^\circ) \\ \sin(-90^\circ) & \cos(-90^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
\]
Menerapkan transformasi rotasi pada titik P:
\[
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \\ -1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Titik P setelah transformasi rotasi adalah P'(3, -2).
2. Dilatasi dengan faktor skala 2
Matriks untuk dilatasi dengan faktor skala 2:
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\]
Menerapkan transformasi dilatasi pada titik P'(3, -2):
\[
\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 3 + 2 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}
\]
Titik P’ setelah transformasi dilatasi adalah P”(6, -4).
3. Translasi sebesar (1, -2)
Berikut adalah operasi translasi yang diberikan:
\[
T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 1 \\ y – 2 \end{pmatrix}
\]
Menerapkan transformasi translasi pada titik P”(6, -4):
\[
T(6, -4) = \begin{pmatrix} 6 + 1 \\ -4 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -6 \end{pmatrix}
\]
Jadi, titik akhir setelah semua transformasi diterapkan adalah P(7, -6).
3. Menghitung Komposisi Transformasi
Soal Tambahan
Diberikan titik Q(1, 2) dan transformasi sebagai berikut:
1. Refleksi terhadap sumbu X.
2. Rotasi \(180^\circ\) searah jarum jam (CW).
Pembahasan
1. Refleksi terhadap sumbu X
Matriks refleksi terhadap sumbu X:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Menerapkan transformasi refleksi pada titik Q:
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}
\]
Titik Q setelah transformasi refleksi adalah Q'(1, -2).
2. Rotasi \(180^\circ\) CW
Matriks untuk rotasi \(180^\circ\) searah jarum jam:
\[
\begin{pmatrix} \cos(180^\circ) & -\sin(180^\circ) \\ \sin(180^\circ) & \cos(180^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\]
Menerapkan transformasi rotasi \(180^\circ\) pada titik Q'(1, -2):
\[
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 1 + 0 \cdot -2 \\ 0 \cdot 1 + -1 \cdot -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}
\]
Jadi, titik akhir setelah semua transformasi diterapkan adalah Q(-1, 2).
Penutup
Metode komposisi transformasi dengan menggunakan matriks sangat berguna dalam menyederhanakan dan menghitung transformasi geometris secara sistematis. Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, kita dapat dengan mudah memahami dan mengaplikasikan berbagai jenis transformasi terhadap satu titik atau objek geometri lainnya. Belajar menggunakan matriks dalam transformasi juga memudahkan kita dalam berbagai bidang seperti fisika, grafika komputer, dan banyak lagi.
