Contoh Soal Pembahasan Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers
Dalam matematika, konsep komposisi fungsi dan fungsi invers merupakan dua topik yang saling berkaitan dan sangat penting dalam berbagai pemahaman lanjutan seperti kalkulus, analisis matematika, dan teori fungsi. Artikel ini akan membahas kedua konsep tersebut dengan memberikan beberapa contoh soal dan pembahasan yang mudah dipahami. Tujuan dari artikel ini adalah untuk membantu pembaca memahami cara kerja komposisi fungsi dan invers fungsional dengan cara yang lebih praktis.
1. Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi adalah operasi yang menggabungkan dua fungsi menjadi satu. Jika kita memiliki dua fungsi \( f(x) \) dan \( g(x) \), maka komposisi dari fungsi-fungsi ini adalah \( (f \circ g)(x) \), yang dibaca “f komposisi g dari x” atau “f dari g dari x.” Komposisi ini didefinisikan sebagai penerapan fungsi \( g(x) \) terlebih dahulu, kemudian menerapkan fungsi \( f \) pada hasil dari \( g(x) \).
Contoh Soal 1:
Diberikan fungsi \( f(x) = 2x + 3 \) dan \( g(x) = x^2 – 1 \). Tentukan komposisi \( (f \circ g)(x) \) dan \( (g \circ f)(x) \).
Pembahasan:
1. Menentukan \( (f \circ g)(x) \):
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( = f(x^2 – 1) \)
Substitusikan \( x^2 – 1 \) ke dalam \( f(x) \):
\( f(x^2 – 1) = 2(x^2 – 1) + 3 \)
\( = 2x^2 – 2 + 3 \)
\( = 2x^2 + 1 \)
Jadi, \( (f \circ g)(x) = 2x^2 + 1 \).
2. Menentukan \( (g \circ f)(x) \):
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( = g(2x + 3) \)
Substitusikan \( 2x + 3 \) ke dalam \( g(x) \):
\( g(2x + 3) = (2x + 3)^2 – 1 \)
Gunakan identitas kuadrat untuk menghitung \( (2x + 3)^2 \):
\( = 4x^2 + 12x + 9 – 1 \)
\( = 4x^2 + 12x + 8 \)
Jadi, \( (g \circ f)(x) = 4x^2 + 12x + 8 \).
2. Fungsi Invers
Fungsi invers adalah fungsi yang membalikkan efek dari fungsi asli. Jika \( f \) adalah sebuah fungsi, maka invers dari \( f \), yang ditulis sebagai \( f^{-1} \), adalah fungsi yang memenuhi \( f(f^{-1}(x)) = x \) dan \( f^{-1}(f(x)) = x \).
Untuk menemukan fungsi invers dari suatu fungsi, kita harus melakukan hal berikut:
1. Ganti \( f(x) \) dengan \( y \).
2. Pecahkan persamaan tersebut untuk \( x \) dalam istilah \( y \).
3. Tukar variabel \( x \) dan \( y \).
Contoh Soal 2:
Diberikan fungsi \( f(x) = 3x – 4 \), tentukan inversnya, yaitu \( f^{-1}(x) \).
Pembahasan:
1. Ganti \( f(x) \) dengan \( y \):
\( y = 3x – 4 \).
2. Pecahkan untuk \( x \) dalam istilah \( y \):
\( y = 3x – 4 \)
Tambahkan 4 ke kedua sisi persamaan:
\( y + 4 = 3x \)
Bagilah kedua sisi persamaan dengan 3:
\( x = \frac{y + 4}{3} \)
3. Tukar variabel \( x \) dan \( y \):
\( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} \)
Jadi, invers dari \( f(x) = 3x – 4 \) adalah \( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} \).
3. Contoh Soal dengan Gabungan Komposisi dan Invers
Contoh Soal 3:
Diberikan fungsi \( f(x) = x^3 + 2 \) dan \( g(x) = \sqrt[3]{x – 2} \). Buktikan bahwa \( g(x) \) adalah invers dari \( f(x) \).
Pembahasan:
Untuk membuktikan bahwa \( g(x) \) adalah invers dari \( f(x) \), kita harus menunjukkan bahwa \( (f \circ g)(x) = x \) dan \( (g \circ f)(x) = x \).
1. Menunjukkan bahwa \( (f \circ g)(x) = x \):
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
Substitusikan \( g(x) = \sqrt[3]{x – 2} \) ke dalam \( f(x) \):
\( f(g(x)) = f(\sqrt[3]{x – 2}) \)
\( = (\sqrt[3]{x – 2})^3 + 2 \)
Karena \( (\sqrt[3]{x – 2})^3 = x – 2 \):
\( = (x – 2) + 2 \)
\( = x \).
2. Menunjukkan bahwa \( (g \circ f)(x) = x \):
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
Substitusikan \( f(x) = x^3 + 2 \) ke dalam \( g(x) \):
\( g(f(x)) = g(x^3 + 2) \)
\( = \sqrt[3]{(x^3 + 2) – 2} \)
\( = \sqrt[3]{x^3} \)
\( = x \).
Karena \( (f \circ g)(x) = x \) dan \( (g \circ f)(x) = x \), maka \( g(x) \) adalah invers dari \( f(x) \).
4. Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-hari
Contoh Soal 4:
Seorang ilmuwan menggunakan dua model matematika yang dijelaskan oleh fungsi \( f(T) = 5T + 40 \) dan \( g(P) = \frac{P – 40}{5} \), di mana \( T \) adalah suhu dalam Celsius dan \( P \) adalah tekanan dalam Pascal. Tentukan apakah fungsi \( g \) adalah invers dari fungsi \( f \).
Pembahasan:
Untuk membuktikan bahwa \( g \) adalah invers dari \( f \), kita harus menunjukkan bahwa \( (f \circ g)(P) = P \) dan \( (g \circ f)(T) = T \).
1. Menunjukkan bahwa \( (f \circ g)(P) = P \):
\( (f \circ g)(P) = f(g(P)) \)
Substitusikan \( g(P) = \frac{P – 40}{5} \) ke dalam \( f(T) \):
\( f(g(P)) = f\left(\frac{P – 40}{5}\right) \)
\( = 5\left(\frac{P – 40}{5}\right) + 40 \)
\( = (P – 40) + 40 \)
\( = P \).
2. Menunjukkan bahwa \( (g \circ f)(T) = T \):
\( (g \circ f)(T) = g(f(T)) \)
Substitusikan \( f(T) = 5T + 40 \) ke dalam \( g(P) \):
\( g(f(T)) = g(5T + 40) \)
\( = \frac{(5T + 40) – 40}{5} \)
\( = \frac{5T}{5} \)
\( = T \).
Karena \( (f \circ g)(P) = P \) dan \( (g \circ f)(T) = T \), maka \( g \) adalah invers dari fungsi \( f \).
Kesimpulan
Konsep komposisi fungsi dan fungsi invers sangatlah penting dalam matematika. Mereka tidak hanya membantu kita memahami hubungan antara dua fungsi, tetapi juga memberikan dasar untuk berbagai aplikasi praktis dalam dunia nyata, seperti ilmu fisika dan teknik. Dengan mempelajari contoh soal di atas, diharapkan pembaca dapat memahami dan menerapkan kedua konsep ini dengan lebih baik.
