Contoh Soal Pembahasan Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang kerap kali muncul dalam berbagai jenis ujian dan aplikasi dunia nyata. Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara setiap dua suku yang berurutan. Dalam artikel ini, kami akan membahas konsep barisan aritmetika dengan lebih mendalam melalui beberapa contoh soal yang disertai dengan pembahasan lengkap.
Definisi dan Notasi
Sebelum masuk ke dalam contoh soal, penting untuk memahami notasi yang sering digunakan dalam barisan aritmetika. Jika \(a\) adalah suku pertama dan \(d\) adalah beda (selisih tetap), maka barisan aritmetika dapat dituliskan sebagai:
\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]
Suku ke-n (Un) dari barisan ini dapat dirumuskan sebagai:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Berikut ini adalah beberapa contoh soal beserta pembahasannya untuk mempermudah pemahaman tentang barisan aritmetika.
Contoh Soal 1
Soal:
Diketahui barisan aritmetika dengan suku pertama \(a = 5\) dan beda \(d = 3\). Tentukan suku ke-10 dari barisan tersebut.
Pembahasan:
Menggunakan rumus umum untuk suku ke-n, yaitu \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Jadi, suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 32.
Contoh Soal 2
Soal:
Diketahui barisan aritmetika dengan suku kelima adalah 20 dan suku kedelapan adalah 35. Tentukan suku pertama \(a\) dan beda \(d\) dari barisan tersebut.
Pembahasan:
Dari soal, kita tahu:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
Subtraksikan kedua persamaan untuk menghilangkan \(a\):
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
\[ 3d = 15 \]
\[ d = 5 \]
Sekarang kita substitusikan \(d = 5\) untuk mencari \(a\):
\[ a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[ a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
Jadi, suku pertama dari barisan tersebut adalah 0 dan beda (selisih) adalah 5.
Contoh Soal 3
Soal:
Berapa jumlah 20 suku pertama dari barisan aritmetika yang memiliki suku pertama \(a = 2\) dan beda \(d = 4\)?
Pembahasan:
Jumlah n suku pertama dari barisan aritmetika dapat dihitung menggunakan rumus:
\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right) \]
Untuk barisan ini:
\[ S_{20} = \frac{20}{2} \left( 2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \right) \]
\[ S_{20} = 10 \left( 4 + 76 \right) \]
\[ S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[ S_{20} = 800 \]
Jadi, jumlah 20 suku pertama dari barisan tersebut adalah 800.
Contoh Soal 4
Soal:
Suku ketiga dari suatu barisan aritmetika adalah 15 dan suku ketujuh adalah 27. Tentukan suku ke-12 dari barisan tersebut.
Pembahasan:
Pertama, kita perlu mencari nilai \(a\) dan \(d\). Dari soal, kita tahu:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
Subtraksikan kedua persamaan untuk menghilangkan \(a\):
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
\[ 4d = 12 \]
\[ d = 3 \]
Sekarang kita substitusikan \(d = 3\) untuk mencari \(a\):
\[ a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[ a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
Menggunakan rumus suku ke-n untuk menemukan suku ke-12:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Jadi, suku ke-12 dari barisan tersebut adalah 42.
Contoh Soal 5
Soal:
Barisan aritmetika dengan suku pertama \(a\) dan beda \(d\) memiliki jumlah 10 suku pertama, yaitu 55. Jika \(d = 1\), tentukan suku pertama \(a\).
Pembahasan:
Diketahui \(d = 1\) dan \(S_{10} = 55\). Gunakan rumus jumlah suku pertama:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Untuk n = 10:
\[ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[ 2a + 9 = 11 \]
\[ 2a = 2 \]
\[ a = 1 \]
Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah 1.
Kesimpulan
Barisan aritmetika merupakan konsep fundamental dalam matematika yang sangat berguna dalam berbagai bidang. Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh soal barisan aritmetika beserta pembahasannya. Pemahaman yang baik tentang rumus dan sifat-sifat dasar barisan aritmetika akan sangat membantu dalam menyelesaikan berbagai jenis masalah yang berkaitan dengan topik ini.
Dengan berlatih contoh-contoh soal seperti di atas, diharapkan Anda dapat lebih mahir dan cepat dalam menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan barisan aritmetika.
