Contoh Soal Pembahasan Irisan Kerucut Parabola
Irisan kerucut adalah bagian dari suatu permukaan kerucut yang dipotong oleh sebuah bidang. Bentuk-bentuk geometri irisan kerucut termasuk diantaranya lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Dalam artikel ini, kita akan memfokuskan pembahasan pada parabola, salah satu jenis irisan kerucut yang paling sering ditemui dalam berbagai bidang ilmu, terutama dalam matematika dan fisika. Parabola dapat didefinisikan sebagai himpunan titik yang berjarak sama dari suatu titik tetap (fokus) dan garis tetap (direktriks).
Definisi Parabola
Untuk mendalami lebih lanjut konsep parabola, perlu dipahami beberapa elemen penting dari parabola, yaitu:
1. Vertex (Puncak) : Titik balikan parabola dimana parabola berubah kurva.
2. Fokus : Titik tetap dalam bidang yang digunakan untuk definisi parabola.
3. Direktriks : Garis tetap pada bidang yang digunakan untuk definisi parabola.
4. Sumbu Simetri : Garis yang melalui fokus dan vertex, serta membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris.
Persamaan umum dari sebuah parabola yang puncaknya berada di titik asal koordinat (0,0) dapat ditulis dalam dua bentuk:
– Parabola Horizontal : \( y^2 = 4ax \)
– Parabola Vertikal : \( x^2 = 4ay \)
di mana \(a\) adalah jarak dari puncak ke fokus.
Contoh Soal dan Pembahasannya
Berikut ini adalah beberapa contoh soal beserta pembahasannya yang berkaitan dengan parabola.
Contoh Soal 1
Soal:
Tentukan persamaan parabola yang mempunyai puncak di titik asal (0,0) dan fokus di titik (3,0).
Pembahasan:
Dari soal, kita lihat bahwa fokus parabola berada di titik (3,0). Karena fokus berada di sumbu x positif, kita tahu bahwa parabola harus berbentuk horizontal.
Untuk parabola yang berbentuk horizontal, kita menggunakan persamaan umum \( y^2 = 4ax \).
Karena fokusnya di (3,0), maka \(a = 3\).
Jadi, persamaan parabolanya adalah:
\[ y^2 = 4 \cdot 3 \cdot x \]
\[ y^2 = 12x \]
Contoh Soal 2
Soal:
Tentukan persamaan parabola yang mempunyai puncak di titik asal (0,0) dan direktriks x = -4.
Pembahasan:
Direktriks parabola adalah garis tetap terjauh dari puncak, berlawanan dengan arah fokus. Jadi, jika direktriksnya adalah x = -4, maka fokusnya berada di titik (4,0).
Kembali, ini menunjukkan bahwa parabolanya adalah horizontal.
Jarak dari puncak ke fokus, \(a = 4\).
Persamaan parabolanya adalah:
\[ y^2 = 4 \cdot 4 \cdot x \]
\[ y^2 = 16x \]
Contoh Soal 3
Soal:
Diketahui sebuah parabola dengan persamaan \( x^2 = 8y \). Tentukan koordinat puncak, fokus, dan persamaan direktriks.
Pembahasan:
Dari persamaan \(x^2 = 8y\), dapat diketahui bahwa ini adalah parabola vertikal.
Untuk parabola dengan bentuk \( x^2 = 4ay \), kita dapat membandingkan:
\[ 4a = 8 \]
\[ a = 2 \]
Ini menunjukkan jarak dari puncak ke fokus adalah 2.
– Koordinat Puncak : Karena tidak ada perpindahan (shift), puncaknya tetap di titik asal (0, 0).
– Fokus : Fokus berada di sepanjang sumbu y positif sejauh jarak a dari puncak, yaitu (0, 2).
– Direktriks : Direktriks adalah garis y = -a, sehingga direktriksnya adalah y = -2.
Contoh Soal 4
Soal:
Tentukan persamaan parabola yang mempunyai fokus di titik (0, -2) dan puncak di titik (0, 0).
Pembahasan:
Soal ini menunjukkan bahwa parabolanya adalah vertikal dan menurun (karena fokus terletak di bawah puncak).
Untuk parabola vertikal yang menghadap ke bawah, bentuk umumnya adalah \( x^2 = -4ay \).
Jarak dari puncak ke fokus, \( a = 2 \).
Jadi, persamaan parabolanya adalah:
\[ x^2 = -4 \cdot 2 \cdot y \]
\[ x^2 = -8y \]
Contoh Soal 5
Soal:
Sebuah parabola memiliki persamaan \( y^2 + 4y – 4x + 20 = 0 \). Tentukan koordinat dari puncak, fokus, dan direktriksnya.
Pembahasan:
Langkah 1: Ubah bentuk persamaan parabolanya menjadi bentuk baku.
Mulai dengan menulis ulang persamaan:
\[ y^2 + 4y – 4x + 20 = 0 \]
\[ y^2 + 4y = 4x – 20 \]
Langkah 2: Lengkapi kuadrat sempurna untuk bagian \(y\):
\[ y^2 + 4y + 4 = 4x – 20 + 4 \]
\[ (y + 2)^2 = 4x – 16 \]
\[ (y + 2)^2 = 4(x – 4) \]
Langkah 3: Bandingkan dengan bentuk umum \( (y – k)^2 = 4a(x – h) \). Dalam hal ini, \(a = 1\), \(k = -2\), dan \(h = 4\).
– Koordinat Puncak : (4, -2)
– Fokus : Karena \(a = 1\), jaraknya dari puncak adalah 1 unit. Fokusnya adalah (4+1, -2) = (5, -2).
– Direktriks : Garis vertikal melalui \( x = h – a = 4 – 1 = 3 \). Jadi, direktriksnya adalah \( x = 3 \).
Dengan memahami berbagai jenis soal dan metode penyelesaiannya, diharapkan pemahaman Anda tentang parabola menjadi lebih baik. Latihlah soal-soal dengan berbagai bentuk dan konfigurasinya untuk memperkuat konsep ini. Parabola bukan hanya konsep dalam matematika tetapi juga memiliki banyak aplikasi dalam fisika dan teknik, termasuk lintasan proyektil dan reflektor parabola dalam sistem komunikasi. Semakin Anda berlatih, semakin Anda akan menguasai topik ini.
