Contoh Soal Pembahasan Hubungan Bilangan Pangkat dan Akar
Dalam matematika, bilangan pangkat dan akar merupakan konsep fundamental yang sering muncul di berbagai cabang ilmu pengetahuan. Bilangan pangkat (atau eksponen) dan akar adalah konsep yang saling berkaitan dan sering digunakan untuk menyederhanakan dan memecahkan berbagai masalah. Artikel ini akan membahas secara mendalam beberapa contoh soal yang melibatkan hubungan antara bilangan pangkat dan akar, beserta pembahasan detail untuk membantu memperkuat pemahaman Anda.
Pengertian Dasar Bilangan Pangkat dan Akar
Bilangan pangkat adalah bilangan yang dihasilkan dari perkalian sebuah bilangan dengan dirinya sendiri sebanyak n kali. Contoh, \( a^n \) dimana ‘a’ adalah bilangan dasar (base) dan ‘n’ adalah pangkat atau eksponen. Misalnya, \( 2^3 \) berarti \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \).
Akar adalah operasi kebalikan dari pangkat. Misalnya, akar kuadrat dari 9 adalah 3, karena \( 3^2 = 9 \). Pada umumnya, akar dituliskan dalam bentuk \(\sqrt[n]{a}\), dimana ‘a’ adalah bilangan yang diakarkan dan ‘n’ adalah derajat akar.
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1: Hubungan Pangkat dan Akar
Soal:
Evaluasilah nilai dari \( \sqrt[3]{8^3} \).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami bahwa operasi akar ketiga (\(\sqrt[3]{ }\)) adalah operasi kebalikan dari pangkat tiga (eksponen 3). Mari kita tuliskan langkah-langkah penyelesaiannya:
1. Perhatikan bahwa \( 8^3 = (2^3)^3 \).
2. Menyederhanakan, kita memperoleh \( (2^3)^3 \).
3. Berdasarkan properti eksponen \((a^m)^n = a^{mn}\), kita dapat menyederhanakan \( (2^3)^3 = 2^{3 \times 3} = 2^9 \).
4. Jadi, soal tersebut dapat ditulis ulang sebagai \(\sqrt[3]{2^9}\).
Untuk melanjutkan, gunakan properti bahwa \(\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\):
5. Maka, \(\sqrt[3]{2^9} = 2^{9/3} = 2^3 = 8\).
Jadi, nilai dari \( \sqrt[3]{8^3} = 8 \).
Soal 2: Penggunaan Properti Pangkat dan Akar
Soal:
Sederhanakan ekspresi \((\sqrt{a^4})^{3/2}\).
Pembahasan:
Untuk menyederhanakan ekspresi ini, kita akan menggunakan properti dari pangkat dan akar. Berikut langkah-langkahnya:
1. Ekspresi awalnya adalah \((\sqrt{a^4})^{3/2}\).
2. Ingat bahwa akar kuadrat dari \( a^4 \) adalah sama dengan pangkat setengahnya: \(\sqrt{a^4} = (a^4)^{1/2} = a^{4 \times 1/2} = a^2\).
3. Jadi, kita bisa menulis ulang ekspresi tersebut sebagai \((a^2)^{3/2}\).
Selanjutnya, gunakan properti eksponen \((a^m)^n = a^{m \times n}\):
4. \((a^2)^{3/2} = a^{2 \times 3/2} = a^3\).
Jadi, ekspresi \((\sqrt{a^4})^{3/2}\) disederhanakan menjadi \(a^3\).
Soal 3: Kombinasi Bilangan Pangkat dan Akar
Soal:
Tentukan nilai dari \(\left( \sqrt{25} + \sqrt[3]{8} \right)^2\).
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung setiap akar secara terpisah terlebih dahulu, kemudian menjumlahkannya, dan akhirnya mengkuadratkan hasilnya:
1. Pertama, hitung nilai dari \(\sqrt{25}\):
\[ \sqrt{25} = 5 \]
2. Kemudian, hitung nilai dari \(\sqrt[3]{8}\):
\[ \sqrt[3]{8} = 2 \]
Sekarang tambahkan hasil dari kedua akar ini:
\[ 5 + 2 = 7 \]
Terakhir, kuadratkan hasilnya:
\[ 7^2 = 49 \]
Jadi, nilai dari \(\left( \sqrt{25} + \sqrt[3]{8} \right)^2\) adalah 49.
Soal 4: Ekspresi yang Mengandung Akar dan Pangkat Negatif
Soal:
Sederhanakan ekspresi \(\left( \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \right)^6\).
Pembahasan:
Untuk menyederhanakan ekspresi ini, kita akan menggunakan properti dari pangkat negatif dan akar. Pertama, mari kita ubah akar kubik menjadi bentuk eksponen:
1. Ingat bahwa \(\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}\).
2. Maka, \(\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = x^{-2/3}\).
Selanjutnya, gunakan properti eksponen untuk mengevaluasi pangkat 6 dari ekspresi ini:
3. \((x^{-2/3})^6 = x^{(-2/3) \times 6} = x^{-4}\).
Jadi, ekspresi \(\left( \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \right)^6\) disederhanakan menjadi \(x^{-4}\).
Soal 5: Penyelesaian dengan Menggunakan Sifat Dasar Akar
Soal:
Jika \(x = (\sqrt[3]{64})^{1/2}\), temukan nilai dari x.
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:
1. Hitung nilai dari \(\sqrt[3]{64}\):
\[ \sqrt[3]{64} = 4 \]
karena \( 4^3 = 64 \).
2. Selanjutnya, hitung pangkat setengah dari hasil tersebut:
\[ (\sqrt[3]{64})^{1/2} = 4^{1/2} = \sqrt{4} = 2 \].
Jadi, jika \( x = (\sqrt[3]{64})^{1/2} \), maka \( x = 2 \).
Kesimpulan
Memahami hubungan antara bilangan pangkat dan akar adalah keterampilan yang penting dalam matematika. Konsep-konsep ini seringkali diterapkan dalam berbagai soal untuk menyederhanakan atau mengevaluasi ekspresi. Dengan berlatih mengerjakan soal-soal yang melibatkan pangkat dan akar, Anda akan dapat memperkaya pemahaman dan kemampuan Anda dalam menyelesaikan masalah matematika. Ingatlah untuk selalu memperhatikan sifat-sifat dan properti eksponen serta akar dalam penyelesaian soal-soal seperti ini.
