Contoh Soal dan Pembahasan Garis Singgung Pada Irisan Kerucut
Pendahuluan
Irisan kerucut merupakan kurva yang dihasilkan dari perpotongan sebuah bidang dengan sebuah kerucut dwikutub. Kurva tersebut meliputi lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Salah satu topik penting dalam memahami irisan kerucut adalah garis singgungnya. Garis singgung pada irisan kerucut adalah garis yang menyentuh kurva irisan kerucut di satu titik saja. Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal dan pembahasan mengenai garis singgung pada irisan kerucut.
Garis Singgung Pada Lingkaran
Lingkaran adalah salah satu irisan kerucut yang memiliki bentuk paling sederhana dan simetri sempurna. Kita mulai dengan contoh soal mengenai garis singgung pada lingkaran.
Contoh Soal 1
Diketahui lingkaran dengan persamaan \( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \). Tentukan persamaan garis singgung di titik \((5, -3)\) pada lingkaran tersebut.
Pembahasan
Persamaan umum lingkaran adalah \( (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \), dengan \( (h, k) \) sebagai pusat lingkaran dan \( r \) sebagai jari-jarinya. Pada soal ini, pusat lingkaran \((h, k)\) adalah \((2, -3)\) dan jari-jari \( r = \sqrt{25} = 5 \).
Garis singgung di titik \((x_1, y_1)\) pada lingkaran dapat dicari dengan menggunakan formula berikut:
\[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
Masukkan nilai-nilai yang diketahui:
\[ (x – 2)(5 – 2) + (y + 3)(-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2)(3) + (y + 3)(0) = 25 \]
\[ 3(x – 2) = 25 \]
\[ 3x – 6 = 25 \]
\[ 3x = 31 \]
\[ x = \frac{31}{3} \]
Persamaan garis singgung tersebut adalah \(x = \frac{31}{3}\), namun ada kesalahan dalam metode ini karena titik \((5, -3)\) adalah jelas-jelas titik pada lingkaran. Oleh karena itu, kita gunakan metode tradisional dengan substitusi gradien garis singgung yang pada titik spesifik ini:
Titik singgungnya adalah, \((5, -3)\), maka, gradien (m) dari garis radius adalah \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\), yang gradien garis singgungnya menjadi tak terdefinisi untuk vertikal singgung mendahului.
Garis Singgung Pada Elips
Elips adalah irisan kerucut yang memiliki dua sumbu simetri: sumbu mayor (panjang) dan sumbu minor (pendek). Berikut adalah contoh soal pada elips.
Contoh Soal 2
Diketahui elips dengan persamaan \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\). Tentukan persamaan garis singgung di titik \((2, \frac{3}{2})\) pada elips tersebut.
Pembahasan
Persamaan garis singgung pada elips \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) di titik \((x_1, y_1)\) adalah:
\[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Dengan \(a = 4\) dan \(b = 3\), substitusikan nilai \(a\), \(b\), dan titik \((2, \frac{3}{2})\):
\[ \frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
\[ \frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1 \]
Kalikan seluruh persamaan dengan 8 untuk menghilangkan pecahan:
\[ x + 4y = 8 \]
Jadi, persamaan garis singgung pada elips adalah \( x + 4y = 8 \).
Garis Singgung Pada Parabola
Parabola adalah irisan kerucut yang memiliki satu sumbu simetri dan satu titik puncak. Berikut adalah contoh soal pada parabola.
Contoh Soal 3
Diketahui parabola dengan persamaan \( y^2 = 4x \). Tentukan persamaan garis singgung di titik \((1, 2)\) pada parabola tersebut.
Pembahasan
Persamaan garis singgung pada parabola \( y^2 = 4ax \) di titik \((x_1, y_1)\) adalah:
\[ yy_1 = 2a(x + x_1) \]
Dari persamaan parabola \( y^2 = 4x \), didapatkan \( 4a = 4 \) sehingga \( a = 1 \). Substitusikan nilai \( a \) dan titik \((1, 2)\):
\[ 2y = 2(1)(x + 1) \]
\[ 2y = 2x + 2 \]
\[ y = x + 1 \]
Jadi, persamaan garis singgung pada parabola adalah \( y = x + 1 \).
Garis Singgung Pada Hiperbola
Hiperbola adalah irisan kerucut yang memiliki dua cabang dan dua asimtot. Berikut adalah contoh soal pada hiperbola.
Contoh Soal 4
Diketahui hiperbola dengan persamaan \( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \). Tentukan persamaan garis singgung di titik \((5, 0)\) pada hiperbola tersebut.
Pembahasan
Persamaan garis singgung pada hiperbola \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) di titik \((x_1, y_1)\) adalah:
\[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
Dengan \( a = 5 \) dan \( b = 4 \), substitusikan nilai \( a \), \( b \), dan titik \((5, 0)\):
\[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
\[ \frac{5x}{25} – 0 = 1 \]
\[ \frac{x}{5} = 1 \]
\[ x = 5 \]
Jadi, persamaan garis singgung pada hiperbola adalah \( x = 5 \).
Kesimpulan
Garis singgung pada irisan kerucut memiliki peran penting dalam matematika dan berbagai aplikasi praktis. Memahami cara mencari persamaan garis singgung pada berbagai jenis irisan kerucut seperti lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola merupakan keterampilan yang penting dalam kalkulus dan geometri analitik. Dengan contoh-contoh soal dan pembahasan di atas, diharapkan pembaca dapat lebih memahami konsep dan metode dalam menentukan garis singgung pada irisan kerucut.
