Contoh Soal Pembahasan Domain, Kodomain, dan Range
Memahami konsep domain, kodomain, dan range dalam matematika, khususnya dalam fungsi sangat penting bagi setiap siswa atau mahasiswa yang mempelajari ini. Konsep-konsep ini fundamental dalam berbagai cabang ilmu, termasuk matematika murni, statistik, dan ilmu komputer. Artikel ini akan membahas contoh soal terkait domain, kodomain, dan range dengan penjelasan lengkap.
Konsep Dasar
Domain
Domain adalah himpunan semua nilai input (x) yang dapat diterima oleh suatu fungsi. Dalam pengertian sederhana, domain adalah semua nilai yang mungkin kita masukkan ke dalam fungsi tersebut.
Kodomain
Kodomain adalah himpunan semua nilai output yang mungkin tetapi tidak harus dihasilkan oleh suatu fungsi. Kodomain bisa berbeda dengan range tetapi setidaknya harus mencakup range.
Range
Range adalah himpunan semua nilai output aktual (y) yang dihasilkan oleh fungsi dari semua nilai domain yang dimasukkan.
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1
Diberikan fungsi f(x) = 2x + 3. Tentukan domain, kodomain, dan range dari fungsi tersebut jika domainnya adalah semua bilangan real.
Pembahasan:
– Domain: Diberikan bahwa domain adalah semua bilangan real, maka \( \text{Domain} = \mathbb{R} \).
– Kodomain: Kodomain fungsi secara umum bisa asumsi sebagai bilangan real juga, yaitu \( \text{Kodomain} = \mathbb{R} \).
– Range: Untuk menemukan range, kita perlu memahami bagaimana fungsi tersebut bekerja. Fungsi \( f(x) = 2x + 3 \) adalah fungsi linear yang akan mencakup seluruh range bilangan real, karena untuk setiap nilai \( x \in \mathbb{R} \), \( f(x) \) juga adalah bilangan real dan mencakup semua nilai dalam \(\mathbb{R}\). Oleh karenanya, \( \text{Range} = \mathbb{R} \).
Soal 2
Diberikan fungsi g(x) = sqrt(x – 1). Tentukan domain, kodomain, dan range dari fungsi tersebut.
Pembahasan:
– Domain: Fungsi g(x) melibatkan akar kuadrat, yang hanya valid untuk nilai non-negatif di bawah akar. Jadi agar \( x – 1 \geq 0 \), maka \( x \geq 1 \). Oleh karena itu, \( \text{Domain} = [1, \infty) \).
– Kodomain: Kodomain fungsi ini umumnya kita asumsi sebagai bilangan real non-negatif karena hasil akar kuadrat selalu non-negatif. Jadi, \(\text{Kodomain} = [0, \infty)\).
– Range: Untuk range, kita melihat nilai aktual yang dihasilkan oleh fungsi. Jika \( x \geq 1 \), maka \( g(x) = \sqrt{x – 1} \geq 0 \). Seberapa besar pun nilai \( x \), hasil \( \sqrt{x – 1} \) akan selalu menghasilkan nilai di rentang \([0, \infty)\). Jadi, \(\text{Range} = [0, \infty)\).
Soal 3
Diberikan fungsi h(x) = 1/x. Tentukan domain, kodomain, dan range dari fungsi ini.
Pembahasan:
– Domain: Fungsi \( h(x) = \frac{1}{x} \) tidak terdefinisi saat \( x = 0 \) karena akan menghasilkan pembagian dengan nol. Jadi \( \text{Domain} = \mathbb{R} – \{0\} \) atau \( \text{Domain} = (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \).
– Kodomain: Kodomain umumnya dapat kita asumsikan sebagai seluruh bilangan real, meski nilai \( x = 0 \) dikeluarkan dari domain, kodomain tetap bisa \( \mathbb{R} \).
– Range: Untuk range, kita melihat hasil dari \( h(x) \) terhadap semua nilai \( x \) yang ada dalam domain. Nilai \( 1/x \) tidak pernah 0, tetapi bisa mencakup semua nilai negatif dan positif bilangan real kecuali nol itu sendiri. Jadi \(\text{Range} = \mathbb{R} – \{0\}\).
Soal 4
Diberikan fungsi k(x) = x^2 – 4. Tentukan domain, kodomain, dan range dari fungsi tersebut.
Pembahasan:
– Domain: Karena fungsi \( k(x) \) adalah polinomial derajat dua, maka domainnya adalah semua bilangan real, \( \text{Domain} = \mathbb{R} \).
– Kodomain: Untuk fungsi polinomial, kita bisa asumsi kodomainnya sebagai bilangan real, \( \text{Kodomain} = \mathbb{R} \).
– Range: Fungsi quadratic tersebut dapat dianalisis dari bentuk parabola \( y = x^2 – 4 \). Parabola ini membuka ke atas dengan titik minimum di \( y = -4 \). Oleh karena itu, nilai minimum dari fungsi ini adalah -4, dan setelahnya bisa mencapai nilai apapun yang lebih besar dari -4. Jadi, \(\text{Range} = [-4, \infty) \).
Itulah beberapa contoh soal dan pembahasan terkait domain, kodomain, dan range. Memahami ketiga konsep ini tidak sekadar membantu menyelesaikan soal, tetapi juga memberikan wawasan lebih mendalam tentang bagaimana sebuah fungsi berperilaku dalam konteks matematika yang lebih luas. Dengan sering berlatih, pemahaman tentang domain, kodomain, dan range akan semakin kuat dan kokoh.
