Contoh Soal dan Pembahasan Distribusi Binomial
Distribusi binomial merupakan salah satu distribusi probabilitas diskrit yang paling sering digunakan. Ia sangat berguna untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada sejumlah percobaan yang identik dan independen, yang masing-masing menghasilkan hasil sukses atau gagal. Dalam artikel ini, kita akan menggali lebih dalam tentang distribusi binomial dengan memberikan beberapa contoh soal dan pembahasan mendetail.
Pendahuluan Distribusi Binomial
Distribusi binomial karakteristik utamanya:
1. n : Jumlah percobaan atau ulangan.
2. p : Probabilitas sukses dalam setiap percobaan.
3. q = 1-p : Probabilitas kegagalan dalam setiap percobaan.
Fungsi massa probabilitas dari distribusi binomial adalah:
\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \]
di mana:
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
– \( X \): Variabel acak yang mewakili jumlah sukses.
– \( k \): Jumlah keberhasilan yang dicari.
Contoh Soal dan Pembahasan
Mari kita mulai dengan beberapa contoh soal untuk memahami konsep distribusi binomial lebih detail.
Contoh 1: Memilih dari Sekelompok Siswa
Misalnya, kita mempunyai sekumpulan 10 siswa, dan probabilitas setiap siswa dipilih untuk mengikuti lomba adalah 0,3. Kita ingin mengetahui probabilitas bahwa tepat 4 siswa dipilih.
Langkah 1 : Identifikasi parameter distribusi binomial.
– \( n = 10 \)
– \( p = 0.3 \)
Langkah 2 : Gunakan distribusi binomial untuk menghitung probabilitas \( X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Menghitung \( {10 \choose 4} \):
\[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Sekarang menghitung \( (0.3)^4 \) dan \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Jadi,
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0081 \cdot 0.117649 \approx 0.20012 \]
Jadi, probabilitas bahwa tepat 4 siswa dipilih adalah kira-kira 0.20012 atau 20.012%.
Contoh 2: Probabilitas Kurang dari atau Sama dengan 2
Sekarang, misalnya, kita ditanya tentang probabilitas bahwa kurang dari atau sama dengan 2 siswa akan dipilih.
Langkah 1 : Kita harus menghitung \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), dan \( P(X = 2) \).
– Untuk \( P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \choose 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.0282475 = 0.0282475 \]
– Untuk \( P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \choose 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.3 \cdot 0.1210608 = 0.3631824 \]
– Untuk \( P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \choose 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ P(X = 2) = 45 \cdot 0.09 \cdot 0.2334744 = 0.2334744 \]
Langkah 2 : Tambahkan probabilitas tersebut.
\[ P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
Jadi, probabilitas bahwa kurang dari atau sama dengan 2 siswa dipilih adalah kira-kira 0.7740671 atau 77.41%.
Contoh 3: Probabilitas Sekurang-kurangnya 8
Jika suatu eksperimen dilakukan 12 kali, dan probabilitas sukses dalam setiap percobaan adalah 0.5, berapa probabilitas bahwa sekurang-kurangnya 8 sukses terjadi?
Langkah 1 : Tetapkan parameter binomial: \( n = 12, p = 0.5 \).
Langkah 2 : Cari probabilitas untuk \( X \geq 8 \).
Ini memerlukan menghitung beberapa probabilitas individual dan menambahkannya:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Hitung satu persatu:
– Untuk \( P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \choose 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– Untuk \( P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \choose 9} = 220 \]
\[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– Untuk \( P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \choose 10} = 66 \]
\[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– Untuk \( P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \choose 11} = 12 \]
\[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– Untuk \( P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \choose 12} = 1 \]
\[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
Langkah 3 : Tambahkan semua probabilitas tersebut.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \approx 0.1938477 \]
Jadi, probabilitas bahwa sekurang-kurangnya 8 sukses terjadi dalam 12 percobaan adalah sekitar 0.1938477 atau 19.38%.
Kesimpulan
Distribusi binomial merupakan salah satu konsep dasar dalam statistik yang sangat penting dalam banyak aplikasi praktis. Dengan memahami cara menghitung probabilitas untuk berbagai kasus distribusi binomial seperti yang ditunjukkan dalam contoh-contoh di atas, kita dapat menerapkan konsep ini dalam situasi nyata. Latihan ini juga mengukuhkan pemahaman tentang bagaimana struktur probabilitas bekerja dalam konteks yang jelas dan teratur.
