Contoh Soal dan Pembahasan Definisi Logaritma
Logaritma adalah konsep matematika yang sering menjadi titik penekanan dalam berbagai topik aljabar dan kalkulus. Dalam bentuk yang paling sederhana, logaritma adalah kebalikan dari eksponen atau pangkat. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal yang disertai dengan pembahasan mendalam untuk memahami konsep logaritma dengan lebih baik.
Pengenalan Definisi Logaritma
Sebelum masuk ke contoh soal, mari kita telaah terlebih dahulu definisi dari logaritma. Jika \(a\) adalah bilangan positif yang berbeda dari 1, maka logaritma basis \(a\) dari bilangan \(b\) adalah eksponen \(x\) yang membuat \(a^x = b\). Hal ini dapat dituliskan dalam bentuk:
\[ \log_a b = x \quad \Leftrightarrow \quad a^x = b \]
Di sini:
– \(a\) adalah basis logaritma.
– \(b\) adalah hasil atau nilai yang dihitung.
– \(x\) adalah eksponen.
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1: Menentukan Nilai Logaritma Dasar
Soal:
Hitung nilai \(\log_2 8\).
Pembahasan:
Menggunakan definisi logaritma \(\log_2 8 = x\), kita harus menemukan nilai \(x\) yang membuat \(2^x = 8\).
Kita tahu bahwa:
\[ 2^3 = 8 \]
Maka:
\[ 3 = \log_2 8 \]
Jadi, \(\log_2 8 = 3\).
Soal 2: Konversi Eksponensial ke Bentuk Logaritma
Soal:
Ubah persamaan eksponensial berikut menjadi bentuk logaritma: \(10^4 = 10000\).
Pembahasan:
Untuk mengubah persamaan eksponensial menjadi logaritma, kita menggunakan definisi logaritma.
Diketahui \(a^x = b\), maka bisa ditulis menjadi \(\log_a b = x\).
Untuk \(10^4 = 10000\), kita tulis:
\[ \log_{10} 10000 = 4 \]
Dengan kata lain, \(10^4 = 10000\) menjadi \(\log_{10} 10000 = 4\).
Soal 3: Pemahaman Logaritma Alamiah
Soal:
Hitung nilai \(\ln e^5\).
Pembahasan:
Logaritma alamiah, atau logaritma natural, memiliki basis \(e\), dimana \(e \approx 2.718\). Notasi logaritma natural adalah \(\ln\), yang sama dengan \(\log_e\).
Dari definisi logaritma, kita tahu bahwa:
\[ \ln e^x = x \]
Jadi, untuk \(\ln e^5\):
\[ \ln e^5 = 5 \]
Soal 4: Menggunakan Sifat Logaritma
Soal:
Sederhanakan ekspresi logaritma berikut: \(\log_3 81\).
Pembahasan:
Untuk menyederhanakan \(\log_3 81\), kita perlu memahami bahwa 81 bisa ditulis dalam basis 3.
Kita memiliki:
\[ 81 = 3^4 \]
Maka:
\[ \log_3 81 = \log_3 (3^4) \]
Menggunakan sifat logaritma \(\log_a (a^x) = x\), kita mendapatkan:
\[ \log_3 (3^4) = 4 \]
Jadi, \(\log_3 81 = 4\).
Soal 5: Persamaan Logaritma
Soal:
Jika \(\log_2 x = 5\), tentukan nilai \(x\).
Pembahasan:
Dari definisi logaritma:
\[ \log_2 x = 5 \quad \Leftrightarrow \quad 2^5 = x \]
Kita dapat menghitung nilai di sebelah kanan:
\[ 2^5 = 32 \]
Jadi, \(x = 32\).
Soal 6: Logaritma dalam Sistem Bilangan Lain
Soal:
Hitung nilai \(\log_5 25\).
Pembahasan:
Kita perlu menemukan \(x\) yang memenuhi persamaan:
\[ 5^x = 25 \]
Kita tahu bahwa:
\[ 25 = 5^2 \]
Maka:
\[ 5^x = 5^2 \]
Sehingga:
\[ x = 2 \]
Jadi, \(\log_5 25 = 2\).
Sifat-Sifat Logaritma
Tidak hanya soal-soal sederhana, pemahaman tentang sifat-sifat logaritma juga penting. Berikut beberapa sifat dasar logaritma yang sering digunakan:
1. Sifat Logaritma dari Satu :
\[ \log_a 1 = 0 \]
Karena \(a^0 = 1\).
2. Sifat Logaritma dari Basis Itu Sendiri :
\[ \log_a a = 1 \]
Karena \(a^1 = a\).
3. Sifat Logaritma dari Perkalian :
\[ \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \]
4. Sifat Logaritma dari Pembagian :
\[ \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y \]
5. Sifat Logaritma dari Pangkat :
\[ \log_a (x^k) = k \log_a x \]
6. Sifat Perubahan Basis Logaritma :
\[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \]
Soal 7: Aplikasi Sifat Logaritma dari Perkalian
Soal:
Sederhanakan \(\log_2 8 + \log_2 4\).
Pembahasan:
Menggunakan sifat logaritma dari perkalian, kita tahu bahwa:
\[ \log_2 8 + \log_2 4 = \log_2 (8 \cdot 4) \]
Maka:
\[ 8 \cdot 4 = 32 \]
Sehingga:
\[ \log_2 32 \]
Kita tahu bahwa:
\[ 2^5 = 32 \]
Jadi, \(\log_2 32 = 5\).
Soal 8: Aplikasi Sifat Logaritma dari Pembagian
Soal:
Sederhanakan \(\log_7 49 – \log_7 7\).
Pembahasan:
Menggunakan sifat logaritma dari pembagian, kita tahu bahwa:
\[ \log_7 49 – \log_7 7 = \log_7 \left(\frac{49}{7}\right) \]
Maka:
\[ \frac{49}{7} = 7 \]
Sehingga:
\[ \log_7 7 \]
Dan dari sifat dasar logaritma, kita tahu bahwa:
\[ \log_7 7 = 1 \]
Soal 9: Aplikasi Sifat Logaritma dari Pangkat
Soal:
Sederhanakan \(\log_2 (4^3)\).
Pembahasan:
Menggunakan sifat logaritma dari pangkat:
\[ \log_2 (4^3) = 3 \log_2 4 \]
Kita tahu bahwa:
\[ 4 = 2^2 \]
Sehingga:
\[ \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2 \]
Maka:
\[ 3 \log_2 4 = 3 \cdot 2 = 6 \]
Jadi, \(\log_2 (4^3) = 6\).
Penutup
Memahami logaritma adalah langkah penting dalam matematika karena konsep ini digunakan secara luas dalam berbagai bidang, baik akademis maupun praktis. Dengan memahami definisi dan sifat-sifat logaritma, serta menguasai cara mengerjakan berbagai contoh soal, kita bisa memperkuat keterampilan matematika dan siap menghadapi masalah yang lebih kompleks.
Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh soal dan pembahasan yang menyeluruh mengenai definisi logaritma, serta berbagai sifat dasar logaritma. Dengan sering berlatih dan mencoba berbagai soal, anda akan semakin mahir dalam memahami dan mengaplikasikan logaritma.
