Contoh Soal Pembahasan Aturan Pengisian Tempat
Aturan pengisian tempat atau aturan penempatan adalah salah satu konsep dasar dalam matematika dan probabilitas yang sangat berguna dalam banyak situasi. Aturan ini biasanya digunakan dalam konteks penyusunan objek dalam urutan tertentu atau pengaturan yang berbeda. Dalam artikel ini, kita akan membahas beberapa contoh soal berkenaan dengan aturan pengisian tempat, memberikan solusi rinci untuk masing-masing soal.
Pendahuluan
Pengisian tempat adalah teknik yang umum digunakan dalam kombinatorika, bidang matematika yang mempelajari pengaturan, kombinasi, dan pemilihan objek. Salah satu prinsip dasar dalam kombinatorika adalah aturan perkalian, yang menyatakan bahwa jika ada beberapa tahap dalam sebuah proses dan setiap tahap memiliki sejumlah pilihan tertentu, maka jumlah total kemungkinan pengaturan dapat ditemukan dengan mengalikan jumlah pilihan dalam setiap tahap.
Contohnya, jika kita memiliki dua tahap di mana tahap pertama memiliki \(m\) pilihan dan tahap kedua memiliki \(n\) pilihan, maka jumlah total kemungkinan pengaturan adalah \(m \times n\).
Mari kita terapkan konsep ini untuk menyelesaikan beberapa soal contoh.
Contoh 1: Mengatur Buku dalam Rak
Soal:
Ada 5 buku berbeda dan sebuah rak buku dengan 5 ruang yang dapat diisi. Berapa banyak cara untuk menyusun kelima buku tersebut di rak?
Pembahasan:
Dalam kasus ini, kita harus mengatur kelima buku dalam 5 ruang yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi karena urutan sangat penting. Kita dapat menggunakan aturan pengisian tempat atau prinsip aturan perkalian untuk menyelesaikan ini.
1. Untuk ruang pertama, kita memiliki 5 pilihan buku.
2. Setelah satu buku ditempatkan di ruang pertama, kita memiliki 4 pilihan buku yang tersisa untuk ruang kedua.
3. Untuk ruang ketiga, kita memiliki 3 pilihan buku yang tersisa, dan seterusnya.
Persamaan untuk jumlah total pengaturan adalah:
\[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120 \]
Jadi, ada 120 cara untuk menyusun kelima buku tersebut.
Contoh 2: Menyusun Kata dari Huruf yang Berbeda
Soal:
Berapa banyak kata berbeda yang dapat dibentuk dengan menggunakan semua huruf dalam kata “MATEMATIKA”, tanpa mengulang?
Pembahasan:
Kita pertama-tama harus melihat ada berapa huruf dalam kata “MATEMATIKA”. Ada 11 huruf di mana beberapa huruf berulang. Huruf yang berulang adalah:
– M sebanyak 2
– A sebanyak 3
– T sebanyak 2
– Huruf lainnya (E, I, K) masing-masing muncul sekali.
Kita menggunakan rumus permutasi untuk elemen yang berulang, yaitu:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
dimana \( n \) adalah total jumlah elemen (huruf) dan \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) adalah jumlah pengulangan masing-masing elemen yang berbeda.
Dengan kata “MATEMATIKA”:
\[ n = 11, n_1 = 2 \text{ (M)}, n_2 = 3 \text{ (A)}, n_3 = 2 \text{ (T)}, n_4 = 1 \text{ (E)}, n_5 = 1 \text{ (I)}, n_6 = 1 \text{ (K)} \]
Jadi jumlah kata yang dapat dibentuk adalah:
\[ \frac{11!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{39916800}{2 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1 \times 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
Ada 1,663,200 kata berbeda yang dapat dibentuk.
Contoh 3: Menentukan Jumlah Kombinasi pada Martabak
Soal:
Sebuah penjual martabak menawarkan 5 pilihan isi (keju, coklat, kacang, pisang, dan kismis). Jika seorang pembeli ingin memilih 3 dari 5 isi untuk martabaknya, berapa banyak kombinasi berbeda yang dapat dipilih?
Pembahasan:
Ini adalah masalah kombinasi, bukan permutasi, karena urutan tidak penting. Kita menggunakan rumus kombinasi:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
dimana \( n \) adalah jumlah total pilihan, dan \( k \) adalah jumlah pilihan yang diambil.
Untuk kasus ini, \( n = 5 \) dan \( k = 3 \), sehingga:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
Ada 10 kombinasi berbeda untuk memilih 3 isi dari 5 pilihan.
Contoh 4: Pengaturan Peserta dalam Sebuah Pertandingan
Soal:
Ada 8 peserta dalam sebuah lomba lari. Berapa banyak cara untuk menempatkan 3 posisi teratas?
Pembahasan:
Ini adalah masalah permutasi tanpa pengulangan karena posisi berarti urutan penting. Kita menggunakan rumus permutasi:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \]
Untuk kasus ini, \( n = 8 \) dan \( k = 3 \), maka:
\[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
Jadi, ada 336 cara untuk menempatkan tiga posisi teratas dari 8 peserta.
Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh soal dan solusinya menggunakan aturan pengisian tempat dalam berbagai situasi: dari mengatur buku di rak hingga menentukan pemenang lomba. Dengan memahami dasar-dasar ini, Anda akan lebih percaya diri dalam menyelesaikan berbagai masalah kombinatorika dan probabilitas yang mungkin dihadapi.
