Material de multiplicació creuada utilitzant components vectorials unitaris
Podem calcular el producte vectorial directament si coneixem els components dels vectors. El procediment és el mateix que per al producte escalar . Primer, multipliquem els vectors unitaris i , j i k . El producte vectorial entre els mateixos vectors unitaris és zero.
i x i = j x j = k x k = 0
Fent referència a l'equació de multiplicació vectorial derivada anteriorment (A x B = AB sense θ) i la propietat anticomutativa de la multiplicació vectorial (A x B = - B x A), aleshores obtenim:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Ara expressem els vectors A i B en termes dels seus components, descomponem el seu producte i utilitzem el producte dels vectors unitaris.
A x B= (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Perquè i x i = j x j = k x k = 0 Dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, així doncs:
A x B = AxBx (0)+ AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
A y B x ( -k ) + A y B z ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Si C = A x B , aleshores els components de C són els següents:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
