Els vectors no són nombres ordinaris, per la qual cosa la multiplicació ordinària no es pot aplicar directament a ells. Hem d'utilitzar la multiplicació vectorial. Hi ha dos tipus de multiplicació vectorial: la multiplicació per punts i la multiplicació creuada. La multiplicació per punts també s'anomena multiplicació escalar perquè produeix una quantitat escalar. La multiplicació creuada també s'anomena multiplicació vectorial perquè produeix una quantitat vectorial. Per exemple, hi ha dos vectors, és a dir A Dan BMultiplicació escalar de vectors A Dan B declarat amb AB KCom que l'arena utilitza la notació de punts, aquesta multiplicació s'anomena producte escalarMultiplicació vectorial de A Dan B declarat amb A x BPerquè utilitza la notació x, aleshores aquesta multiplicació s'anomena multiplicació creuada.
Per exemple, donat el vector A Dan B com es mostra a la imatge següent. El producte escalar entre vectors A Dan B escrit com AB (A titik B).
Per definir el producte escalar de vectors A Dan B (AB), vector representat A i vectors per yque forma un angle θ. A continuació, dibuixem la projecció del vector B cap a la direcció del vector AAquesta projecció és un component del vector B que és paral·lel al vector A, que té la mateixa mida que B cos θ.
Així, definim AB com un gran vector A multiplicat pels components vectorials B que és paral·lel a AMatemàticament ho podem escriure de la següent manera:
AB cos θ és un nombre ordinari (escalar). Per tant, el producte escalar també s'anomena producte escalar. Què passa si el producte escalar entre vectors A Dan B convertit en BA ? abans de definir BA, primer dibuixem la projecció del vector A a vectors B (vegeu la imatge següent).
A partir d'aquesta imatge, podem definir BA com un gran vector B multiplicat pels components vectorials A que és paral·lel a BMatemàticament ho podem escriure de la següent manera:
Resultat del producte escalar AB = AB cos θ i el resultat del producte escalar BA = BA cos θ. Perquè AB cos θ = BA cos θ, aleshores s'aplica AB = BA
Algunes coses sobre la multiplicació per punts que has de saber:
1. El producte escalar compleix la llei commutativa.
AB = BA
2. El producte escalar compleix la llei distributiva.
A. (B + C) = AB + AC
3. Si els vectors A i B són perpendiculars entre si, aleshores el producte escalar AB = 0
Quan el vector A Dan B perpendiculars entre si, l'angle format és de 90oCos 90o = 0. Així: AB = AB cos tia = AB cos 90o = 0. D'altra banda, BA = BA cos tia = BA cos 90o = 0
4. Si el vector A i el vector B són en la mateixa direcció , aleshores AB = AB cos 0 o = AB
Quan el vector A Dan B en la mateixa direcció, l'angle format és 0oCos 0 = 1. Per tant, AB = AB cos tia = AB cos 0o = ABAl contrari BA = BA cos tia = BA cos 0o = BA
(No s'ha de confondre amb AB Dan BAGran AB = gran BAPer exemple, la magnitud del vector A = 2. magnitud del vector B = 3. llavors AB = 2.3 = 6; això és el mateix que BA = 3.2 = 6.
5. Una altra condició per a dos vectors en la mateixa direcció, si A = B aleshores obtenim AA = A² o BB = B²
6. Si els vectors A i B estan en direccions oposades (quan dos vectors estan en direccions oposades, l'angle que es forma és de 180º) , aleshores el resultat de la multiplicació AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
Cos 180º = -1.
Exemple de problemes:
Un vector A té una magnitud de 4 unitats i el vector B té una magnitud de 3 unitats. Determineu el producte escalar dels dos vectors si els angles formats pels dos vectors són 60º, 90º i 180º.
Discussió
Com que AB = BA , podem triar utilitzar qualsevol dels dos. Per exemple, utilitzem AB
AB = AB cos theta
La mida de A = 4 unitats i la mida de B = 3 unitats.
