Material de multiplicació de punts utilitzant components vectorials unitaris
Podem calcular el producte escalar directament si coneixem les components x, y i z dels vectors A i B (els vectors coneguts).
Per realitzar un producte escalar d'aquesta manera, primer realitzem un producte escalar dels vectors unitaris, després expressem els vectors A i B en els seus components, descomponem el producte i utilitzem el producte dels vectors unitaris.
Els vectors unitaris i , j i k són perpendiculars entre si, cosa que facilita els càlculs. Utilitzant l'equació de multiplicació escalar derivada anteriorment ( AB = AB cos theta ), obtenim:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
Ara expressem els vectors A i B en termes dels seus components, descomponem el seu producte i utilitzem el producte dels vectors unitaris.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Perquè i . i = j . j = k . k = 1 i i . j = i . k = j . k = 0, aleshores:
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
A partir dels resultats d'aquest càlcul, es pot concloure que el producte escalar o producte escalar de dos vectors és la suma dels productes dels seus components similars.
Exemple de pregunta 1:
Vector gran A Dan B respectivament són 5 i 4, com es mostra a la imatge següent. L'angle format és de 90oCompta-ho producte escalar tots dos vectors.
Discussió
Abans de calcular el producte escalar dels vectors A i B, primer necessitem conèixer els components del segon vector.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
Az = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
El vector A només té components vectorials a l'eix x i el vector B només té components vectorials a l'eix y. El component z és zero perquè els vectors A i B són al pla xy.
Ara calculem el producte escalar entre els vectors A i B utilitzant l'equació del producte escalar amb vectors components:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Comparem-ho amb el primer mètode
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
El resultat és el mateix.
Exemple de pregunta 2:
Vector gran A Dan B són 5 i 4 respectivament, tal com es mostra a la imatge següent. Calcula producte escalar tots dos vectors, si l'angle format és de 30o
Discussió
Abans de calcular el producte escalar dels vectors A i B, primer necessitem conèixer els components del segon vector.
La component z és zero perquè els vectors A i B són al pla xy.
Ara calculem el producte escalar entre els vectors A i B utilitzant l'equació del producte escalar amb vectors components:
Compareu amb el primer mètode.
