Ротационно движение – проблеми и решения

Въртящ момент

1. Греда с дължина 140 см. Върху гредата действат три сили: F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N и F3 = 40 N, _с посока и положение, както е показано на фигурата по-долу. Какъв е въртящият момент , който кара гредата да се върти около центъра на масата ѝ?

Известни: Ротационно движение – проблеми и решения 1

Центърът на масата е разположен в центъра на лъча.

Дължина на гредата (l) = 140 см = 1.4 метра

Сила 1 (F1 ₎ = 20 N, рамото на лоста 1 (l1 ₎ = 70 см = 0.7 метра

Сила 2 (F2 ₎ = 10 N, рамото на лоста 2 (l2 ₎ = 100 см – 70 см = 30 см = 0.3 метра

Сила 3 (F3 ₎ = 40 N, рамото на лоста 3 (l3 ₎ = 70 см = 0.7 метра

Търси се: Големината на въртящия момент

решение:

Въртящият момент 1 завърта гредата по посока на часовниковата стрелка, така че на въртящия момент 1 е присвоен отрицателен знак.

τ1 ₌ F1l1 = ( _{20 N)(0.7 м}₎ = -14 Нм

Въртящият момент 2 завърта гредата обратно на часовниковата стрелка, като по този начин му се присвоява положителен знак.

τ² ₌ F² _{l² = (10 N}₎ (0.3 м) = 3 N· m

Въртящият момент 3 завърта гредата по посока на часовниковата стрелка, така че на въртящия момент 3 е присвоен положителен знак.

τ³ ₌ F³ _l³ = (40 N)(0.7 м) = -28 N·m

Нетният въртящ момент:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Големината на въртящия момент е 39 N m. Посоката на въртене на гредата е по часовниковата стрелка, така че ѝ е присвоен отрицателен знак.

2. Какъв е нетният въртящ момент, действащ върху гредата. Оста на въртене в точка D? (sin 53 ^o = 0.8)

Известни:

Оста на въртене в точка D Ротационно движение – проблеми и решения 2

F ₁ = 10 N и l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 метра

F ₂ = 10√2 N и l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 метра

F ₃ = 20 N и l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 метра

Търсен: Нетният въртящ момент

решение:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(Въртящият момент 1 завърта гредата обратно на часовниковата стрелка, така че присвояваме положителен знак на въртящия момент 1)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Въртящият момент 2 завърта гредата по часовниковата стрелка, така че присвояваме отрицателен знак на въртящия момент 2)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(Въртящият момент 3 завърта гредата обратно на часовниковата стрелка, така че присвояваме положителен знак на въртящия момент 3)

Нетният въртящ момент:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Какъв е нетният въртящ момент, ако оста на въртене в точка D е (sin 53 ^o = 0.8)

Известни:

Оста на въртене в точка D. Ротационно движение – проблеми и решения 3

Разстояние между F1 _и оста на въртене ( _rAD ) = 40 cm = 0.4 m

Разстояние между F² _и оста на въртене (rBD ₎ = 20 cm = 0.2 m

Разстояние между F3 _и оста на въртене (rCD ₎ = 10 cm = 0.1 m

F1 = 10 _Нютон

F² = 10√² _Нютон

F² = ₂₀ Нютона

Sin 53 ^o = 0.8

Търсен: Нетният въртящ момент

решение:

Моментът на силата 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

Моментът на силата 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

Моментът на силата 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Въртящият момент 2 завърта гредата обратно на часовниковата стрелка, така че присвояваме положителен знак на въртящия момент 3)

Нетният въртящ момент:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 нютон метра

Моментът на инерция

4. Дължина на проводника = 12 м, l ₁ = 4 м. Пренебрегнете масата на проводника. Какъв е моментът на инерция на системата.

Известни: Ротационно движение – проблеми и решения 4

Маса на A (m _A ) = 0.2 kg

Маса на B (m _B ) = 0.6 kg

Разстояние между A и оста на въртене (r _A ) = 4 метра

Разстояние между B и оста на въртене (r _B ) = 12 – 4 = 8 метра

Търси се: Моментът на инерция на системата

решение:

Моментът на инерция на А

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

Моментът на инерция на B

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 кг м ²

Моментът на инерция на системата:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Ротационна динамика

5. Сила от 6 N е приложена към въже, увито около ролка с маса M = 5 kg и радиус R = 20 cm. Какво е ъгловото ускорение на ролката? Ролката е еднороден твърд цилиндър.

Известни:

Сила (F) = 6 нютона

Маса (M) = 5 кг

Радиус (R) = 20 см = 20/100 м = 0.2 м

Търси се: Ъглово ускорение (α)

решение:

Моментът на силата:

τ = FR = (6 нютона)(0.2 метра) = 1.2 N m

Моментът на инерция за плътен цилиндър:

I = 1/2 MR ²

I = 1/2 (5 кг)(0.2 м) ^²

I = 1/2 (5 кг)(0.04 ^м² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg ^m².

Ъгловото ускорение:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Блок с маса = 4 кг, висящ на въже, увито около макара с маса = 8 кг и радиус R = 10 см. Ускорението на гравитацията е 10 ms ^-2 . Какво е линейното ускорение на блока? Макарата е еднороден твърд цилиндър.

Известни:

Маса на макарата (m) = 8 kg

Радиус на макарата (r) = 10 см = 0.1 м

Маса на блока (m) = 4 kg

Ускорение на гравитацията (g) = 10 m/ ^s²

Тегло (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 нютона

Търси се: Ускорението на свободното падане на блока

решение:

Моментът на инерция на плътния цилиндър:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 кг)(0.1 м²) ² = (4 кг)(0.01 м² ⁾ = 0.04 кг ^м²

Моментът на силата:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

Ъгловото ускорение:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Линейното ускорение:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. Блок с маса m, висящ на въже, увито около макара. Ако ускорението на свободното падане на блока е am/s² ^, какъв е моментът на инерция на макарата?

Известни:

тегло = w = mg Ротационно движение – проблеми и решения 6

Лост = R

Ъгловото ускорение = α

Ускорението на свободното падане на блока = a ms ^-2

Търси се: Моментът на инерция на макарата (I)

решение:

Връзката между линейното ускорение и ъгловото ускорение:

a = Rα

α = a / R

Моментът на инерция:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Ъгловият момент

8. Частица с маса 0.2 грама се движи в кръг с постоянна скорост 10 m/s. Радиусът на кръга е 3 cm. Какъв е ъгловият момент на частицата?

Известни:

Маса на частицата (m) = 0.2 грама = 2 x ^10⁻⁴ kg

Ъглова скорост (ω) = 10 rad s ^-1

Радиус (r) = 3 см = 3 x ^10⁻² метра

Търси се: ъгловият момент на частицата

решение:

Уравнението на ъгловия момент:

L = Iω

I = ъгловият момент, I = моментът на инерция, ω = ъгловата скорост

Моментът на инерция (за частици):

I = mr² ⁼ (2 x 10⁻⁴ ⁾ (3 x ^10⁻² ) ^² = (2 x ^10⁻⁴ )(9 x ^10⁻⁴ ) = 18 x ^10⁻⁴

Ъгловият момент:

^{L = I} ω = (18 x ^10⁻⁴ )(10 rad s⁻¹ ⁾ = 18 x ^10⁻⁷ kg ^m² s⁻¹

Какво е въртеливо движение?
- ОтговорРотационното движение се отнася до движението на обект около фиксирана ос. Това е вид движение, при което всяка точка на обекта се движи в кръг около оста.
Как линейната скорост се свързва с ъгловата скорост при въртеливо движение?
- ОтговорЛинейна скорост ( $v$ ) на точка във въртящ се обект е право пропорционално на разстоянието до нея ( $r$ ) от оста на въртене и ъгловата скорост ( $ω$ ) на обекта. Връзката е дадена от $v = r \cdot ω$ .
Какво е моментът на инерция и как се свързва с въртеливото движение?
- ОтговорМоментът на инерция е ротационният аналог на масата при линейно движение. Той измерва съпротивлението на обекта на промените в неговото ротационно състояние. Моментът на инерция зависи както от масата на обекта, така и от неговото разпределение спрямо оста на въртене.
Как се прилага първият закон за движението на Нютон към въртеливото движение?
- ОтговорТочно както обект в линейно движение остава в движение, освен ако не е под въздействието на външна сила, обект в въртеливо движение ще остане в това състояние, освен ако не е под въздействието на външен въртящ момент.
Какво е значението на радиуса на гирация?
- ОтговорРадиусът на гирация предоставя мярка за разпределението на масата на обекта спрямо оста му на въртене. Той по същество описва колко далеч от оста трябва да бъде концентрирана цялата маса на обекта, за да има същия момент на инерция като първоначалното разпределение.
Какво е ъглов момент и как се запазва?
- ОтговорЪгловият момент е ротационният еквивалент на линейния момент. Той е произведение на момента на инерция на обекта и неговата ъглова скорост. В затворена система общият ъглов момент остава постоянен, освен ако не е под въздействието на външен въртящ момент, което подчертава запазването на ъгловия момент.
Как въртящият момент влияе на въртеливото движение?
- ОтговорВъртящият момент е ротационният еквивалент на силата. Той причинява промени във въртеливото движение на обект. Връзката е дадена от втория закон на Нютон за въртене: $τ = I \cdot α$ , Където $τ$ е въртящият момент, $I$ е моментът на инерция, и $α$ е ъгловото ускорение.
По какво се различава центърът на масата от центъра на въртене?
- ОтговорВъпреки че могат да съвпадат, центърът на масата е точката, където може да се приеме, че е концентрирана цялата маса на обекта за целите на изчисленията при линейно движение, докато центърът на въртене е точката (или оста), около която се върти обектът.
Каква е ролята на центростремителната сила при въртеливото движение?
- ОтговорЦентростремителната сила е сумата от силата, действаща върху обект, движещ се по кръгова траектория, насочена към центъра на въртене. Тя е отговорна за задържането на обекта по извитата му траектория и предотвратяването на движението му по права линия поради инерция.
Каква е връзката между ротационната кинетична енергия и момента на инерция и ъгловата скорост?
- ОтговорРотационната кинетична енергия е енергията, дължаща се на въртенето на обект около ос. Тя се дава от формулата: $K E_{ro t a t i o na l} = 1/2 I ω^{2}$ , Където $I$ е моментът на инерция и $ω$ е ъгловата скорост.