Момент на инерция на частиците – проблеми и решения

Момент на инерция на частиците – проблеми и решения

1. Две топки, свързани с пръчка, както е показано на фигурата по-долу. Пренебрегнете масата на пръчката . Масата на топката P е 600 грама, а масата на топката Q е 400 грама. Какъв е моментът на инерция на системата спрямо AB?

Известни:

Оста на въртене е AB.

m _p = 600 грама = 0.6 кг, m _q = 400 грама = 0.4 кг

rp ₌ 20 см = 0.2 м, _rq = 50 см = 0.5 м

Търси се: Моментът на инерция на системата

решение:

I = mp _/ ^r / _p² + mq ^/ _r / _q²

I = (0.6 кг)(0.2 м) ^² + (0.4 кг)(0.5 м) ^²

I = (0.6 кг)(0.04 м² ⁾ + (0.4 кг)(0.25 ^м² )

I = 0.024 кг м² ⁺ 0.1 кг ^м²

I = 0.124 kg ^m²

2. Прътът AB с маса 2 kg се завърта около точка A, като моментът на инерция на пръта е 8 kg m² ^. Ако се завърти около точка O (AO = OB), какъв е моментът на инерция на пръта?

Известни:

Маса на пръта AB (m) = 2 kg

Ако се завърти около точка А така, че радиусът на въртене (r) = дължината на AB = r, тогава моментът на инерция (I) = 8 kg ^m²

Търси се: Ако се завърти около точка O така, че радиусът на въртене (r) = дължината на AO = дължината на OB = 1/2 r, тогава какъв е моментът на инерция на пръта?

решение:

Аз = Г-н ²

8 кг м² ⁼ (2 кг) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² ⁼ 8 м² ^/ ²

r² = ^{4 м²}

r = 2 метра

Ако се завърти около точка O, така че ½ r = 1 метър, тогава моментът на инерция:

I = mr² ⁼ (2 кг)(1 м²) ^² = (2 кг)(1 м² ⁾ = 2 кг ^м²

3. Две топки, свързани с пръчка, както е показано на фигурата по-долу. Пренебрегнете масата на пръчката. Какъв е моментът на инерция на системата.

Известни:

Маса на топката A (m_A) = 200 грама = 0.2 кг

Маса на топката B (m _B ) = 400 грама = 0.4 кг

Разстояние между топката A и оста на въртене (r _A ) = 0

Разстояние между топката B и оста на въртене (r _B ) = 25 cm = 0.25 m

Търси се: Момент на инерция на системата

решение:

Моментът на инерция на топка А:

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(0) ² = 0

Моментът на инерция на топка B:

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

Моментът на инерция на системата:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 кг м² ⁼ 25 x ^10⁻³ кг ^м²

4. Четири частици с различни маси, показани на фигурата по-долу. Определете момента на инерция на системата спрямо хоризонталната линия P.

Решение

Оста на въртене е хоризонталната линия P.

Известни:

Маса на частицата A (m _A ) = m

Маса на частицата B (m _B ) = 2m

Маса на частицата C (m _C ) = 3m

Преминаване на частици D (m _D ) = 4m

Разстояние между частица A и оста на въртене (r _A ) = b

Разстояние между частица B и оста на въртене (r _B ) = b

Разстояние между частицата C и оста на въртене (r _C ) = 2b

Разстояние между частицата D и оста на въртене (r _D ) = 2b

Търси се: Моментът на инерция на системата спрямо хоризонталната линия P

решение:

_I = _{mA_rA²} + _{mB_rB²} + mC_rC² + _{mD_rD²}​_​^​_​^​​​_​​_​^​

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 ^mb²

5. Четири частици, свързани с пръчка. Пренебрегнете масата на пръчката. Определете момента на инерция спрямо оста на въртене чрез частиците m1 _и m2 _, както е показано на фигурата по-долу.

известен

Маса на частица 1 (m₁) = 1/4 кг

Маса на частица 2 (m2 ₎ = 1/2 kg

Маса на частица 3 (m3 ₎ = 1/4 kg

Маса на частица 4 (m4 ₎ = 1/4 kg

Разстояние между частица 1 и оста на въртене (r² ₎ = 0

Разстояние между частица 2 и оста на въртене (r² ₎ = 0

Разстояние между частица 3 и оста на въртене (r3 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Разстояние между частица 4 и оста на въртене (r4 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Търси се: Моментът на инерция

решение:

I = m1 _/ r1 _/ ² + m2 _/ r2/ ² ₊ m3 _/ r3 _/ ² + m4 _/ r4 _/ ²

I = (1/4)(0) ^² + (1/2)(0) ^² + (1/4)(1/10) ^² + (1/4)(1/10) ^²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

I = 2/400

I = 1/200 ^kg.m²

1. Какъв е моментът на инерция на частица?
   • ОтговорЗа единична частица с маса $m$ от разстояние $r$ от ос на въртене, неговият момент на инерция $I$ се дава от I=m×r².
2. Защо моментът на инерция често се нарича „ротационен аналог“ на масата?
   • ОтговорТочно както масата е мярка за съпротивлението на обекта на промените в неговото транслационно движение (поради втория закон на Нютон), моментът на инерция е мярка за съпротивлението на обекта на промените в неговото въртеливо движение.
3. Как промяната на разстоянието на частица от нейната ос на въртене влияе на нейния момент на инерция?
   • ОтговорМоментът на инерция е пропорционален на квадрата на разстоянието от оста на въртене. Ако удвоите разстоянието, моментът на инерция ще се увеличи четири пъти.
4. Защо е квадратът на разстоянието (r²) използван във формулата за момента на инерция, вместо само за разстоянието?
   • ОтговорКвадратът на разстоянието се използва поради начина, по който работи кинетичната енергия при въртене. При въртеливо движение всяка частица от обект допринася за ротационната кинетична енергия въз основа както на своята маса, така и на квадрата на разстоянието си от оста.
5. Как се променя моментът на инерция на частица, ако масата ѝ се утрои, като същевременно разстоянието от оста се запази постоянно?
   • ОтговорАко масата се утрои и разстоянието се запази постоянно, моментът на инерция също ще се утрои, защото е правопропорционален на масата.
6. Може ли една частица да има момент на инерция, равен на нула? Ако е така, при какво условие?
   • ОтговорДа, частицата ще има момент на инерция нула, ако е разположена директно върху оста на въртене, което прави разстоянието ѝ $r$ от оста, равна на нула.
7. Защо различните обекти с еднаква маса и размер имат различни моменти на инерция, когато се въртят около различни оси?
   • ОтговорРазпределението на масата около оста на въртене определя момента на инерция. Дори ако два обекта имат еднаква маса и размер, разпределението на масата им спрямо оста на въртене може да се различава, което води до различни моменти на инерция.
8. Моментът на инерция скаларна или векторна величина ли е?
   • ОтговорМоментът на инерция е скаларна величина. Въпреки това, за твърди тела със сложни форми и множество оси на въртене, той се представя чрез тензор.
9. Ако две частици, всяка от които с маса $m$, са разположени на разстояния r_1​ намлява r₂​ От оста на въртене, какъв е комбинираният момент на инерция?
   • ОтговорМоментът на инерция е адитивен за отделните частици. Следователно, комбинираният момент на инерция I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. Как моментът на инерция е свързан със запазването на ъгловия импулс?

    • ОтговорЪглов момент $L$ е произведението на момента на инерция $I$ и ъглова скорост $\omega$, представено от уравнението $L=I\times \omega$Ако върху системата не действат външни въртящи моменти, ъгловият момент ще остане постоянен. Това означава, че ако моментът на инерция се промени (както при фигурист, който дърпа ръцете си), ъгловата скорост трябва да се промени, за да се запази произведението постоянно.