Динамика на въртеливите движения – проблеми и решения

1. Макара с момент на инерция I = 2/5 MR² ^има маса от 2 kg. Ако моментът на сила върху ролката е 4 Nm, тогава какво е линейното ускорение на ролката? Ускорението, причинено от гравитацията, е g = 10 ^ms⁻².

известен : Динамика на въртеливите движения – проблеми и решения 1

Моментът на инерция на ролката (I) = 2/5 MR ²

Маса на ролката (M) = 2 kg

Момент на сила (τ) = 4 Nm

Ускорение на гравитацията (g) = 10 ms ^-2

Радиус на макарата (R) = 20 см = 0.2 м

Търси се: Линейното ускорение (a)

решение:

Моментът на инерция на макарата (I):

I = 2/5 MR ² = 2/5 (2)(0.2) ² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 кг ^м²

Ъгловото ускорение (α):

τ = Iα

α = τ/I = 4 / 0.032 = 125 rad.s ^-2

Линейното ускорение (a):

a = R α = (0.2)(125) = 25 ms ^-2

Линейното ускорение на ръба на шайбата е 25 ^ms⁻².

2. Ускорението на макарата е 2 ms ^-2 . Ускорението на гравитацията е g = 10 ms ^-2 . Какъв е моментът на инерция на макарата?

Известни:

Линейното ускорение на ръба на макарата (a) = 2 ms^-2

Ускорение на гравитацията (g) = 10 ms ^-2

Радиус на макарата (R) = 10 см = 0.1 м

Тегло на обекта (w) = mg = (4)(10) = 40 N

Търси се: Моментът на инерция на макарата

решение:

Моментът на сила (τ):

τ = FR = w R = (40)(0.1) = 4 Nm

Ъгловото ускорение на ролката (α):

a = Rα

α = a/R = 2 / 0.1 = 20 rad.s ^-2

Моментът на инерция на ролката (I):

τ = Iα

I = τ/α = 4/20 = 0.2 kg ^m²

3. Макарата се ускори с 1 ms ^-2 . Ако радиусът на ролката е 10 cm, какъв е моментът на инерция на ролката?

Известни:

Линейното ускорение на ръба на макарата (a) = 1 ms^-2

Ускорение на гравитацията (g) = 10 ms ^-2

Радиус на макарата (R) = 10 см = 0.1 м

Сила (F) = 4 N

Търси се: Моментът на инерция на ролката

решение:

Моментът на сила (τ):

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 Nm

Ъгловото ускорение на макарата (α):

a = Rα

α = a/R = 1 / 0.1 = 10 rad.s ^-2

Моментът на инерция на макарата (I):

τ = Iα

I = τ/α = 0.4 / 10 = 0.04 kg m ²

Какъв е ротационният еквивалент на масата при линейно движение?
- Отговор: Ротационният еквивалент на масата при линейно движение е моментът на инерция, често обозначен като $I$ .
Как въртящият момент се свързва с въртеливото движение и как се сравнява със силата при линейно движение?
- Отговор: Въртящият момент е ротационният еквивалент на силата. Докато силата причинява линейно ускорение в обектите, въртящият момент причинява ъглово ускорение във въртящите се тела. Въртящият момент се изчислява като произведение на приложената сила и перпендикулярното разстояние от оста на въртене до точката на приложение на силата.
Каква е връзката между ъгловото ускорение, въртящия момент и момента на инерция?
- Отговор: Връзката е дадена от втория закон на Нютон за въртене: $τ = I α$ , Където $τ$ е въртящият момент, $I$ е моментът на инерция, и $α$ е ъгловото ускорение.
Ако моментът на инерция на въртящ се обект се увеличи, докато външният въртящ момент остане постоянен, какво се случва с ъгловото ускорение?
- Отговор: Ако моментът на инерция се увеличи, а външният въртящ момент остане постоянен, ъгловото ускорение ще намалее.
Как са аналогични понятията за линеен импулс и ъглов импулс при линейно и въртеливо движение?
- Отговор: Линеен импулс (даден от $p = m v$ , Където $m$ е маса и $v$ е скорост) е произведението на масата и линейната скорост, докато ъгловият момент (даден от $L = I ω$ , Където $I$ е моментът на инерция и $ω$ е ъгловата скорост) е произведението на момента на инерция и ъгловата скорост.
Какво се разбира под запазване на ъгловия момент?
- Отговор: Законът за запазване на ъгловия момент гласи, че при липса на външни въртящи моменти, общият ъглов момент на затворена система остава постоянен.
Защо фигуристите се въртят по-бързо, когато прибират ръцете си по време на завъртане?
- Отговор: Когато фигуристите прибират ръцете си, те намаляват момента си на инерция. Поради запазването на ъгловия момент, когато моментът на инерция намалява, ъгловата скорост (или скоростта на въртене) трябва да се увеличи, за да се поддържа ъгловият момент постоянен.
Как се сравнява ротационната кинетична енергия на даден обект с неговата линейна кинетична енергия?
- Отговор: Ротационната кинетична енергия (дадена от 1/2 $I ω^{2}$ ) е аналогична на линейната кинетична енергия (дадена от 1/2 $m v^{2}$ ). Първото е свързано с въртенето на обекта, а второто - с неговото линейно движение.
Може ли един обект да има едновременно ротационна и линейна кинетична енергия?
- Отговор: Да, един обект може да има както ротационна, така и линейна кинетична енергия. Например, търкалящо се колело има ротационна кинетична енергия поради въртенето си и линейна кинетична енергия поради движението си напред.
Ако радиусът на въртящо се колело се удвои, като същевременно ъгловата му скорост се запази постоянна, как се променя моментът му на инерция?

Отговор: Моментът на инерция на твърд диск е даден от 1/2 $m r^{2}$ , Където $m$ е масата и $r$ е радиусът. Ако радиусът се удвои, а масата остане постоянна, моментът на инерция ще се увеличи четири пъти.