Момент на инерция на частици и твърди тела – проблеми и решения

Моментът на инерция на частицата

1. Топка с маса 100 грама, свързана с единия край на въже с дължина 30 см. Какъв е моментът на инерция на топката спрямо оста на въртене AB? Пренебрегнете масата на въжето.

Известни:

Оста на въртене в точка AB

Маса на топката (m) = 100 грама = 100/1000 = 0.1 кг

Разстоянието между топката и оста на въртене (r) = 30 см = 0.3 м

Търси се: Момент на инерция на топката (I)

решение:

I = mr² ⁼ (0.1 kg)(0.3 m) ^²

I = (0.1 кг)(0.09 ^м² )

I = 0.009 kg ^m²

[ирп]

2. Топка с маса 100 грама, m1 , и топка _с маса 200 грама, m2 _, свързани с пръчка с дължина 60 см. Масата на пръчката се пренебрегва. Оста на въртене е разположена в центъра на пръчката. Какъв е моментът на инерция на топката спрямо оста на въртене?

Известни:

Маса на топката 1 (m1 ₎ = 100 грама = 100/1000 = 0.1 кг

Разстоянието между топката 1 и оста на въртене (r1 ₎ = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Маса на топката (m² ₎ = 200 грама = 200/1000 = 0.2 кг

Разстоянието между топката 2 и оста на въртене (r2 ₎ = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Търси се: момент на инерция на топките

Отговор:

I = m1 _/ r1 _/ ² + m2 ^/ _r2 / ₂

I = (0.1 кг)( 0.3 м) ^² + (0.2 кг)( 0.3 м) ^²

I = (0.1 кг)( 0.09 м² ⁾ + (0.2 кг)( 0.09 ^м² )

I = 0.009 кг ^м² + 0.018 кг ^м²

I = 0.027 kg ^m²

[ирп]

3. Топка с маса 200 грама, m ₁ , и топка с маса 100 грама, m _2, свързани с пръчка с дължина 60 см. Пренебрегнете масата на пръчката. Оста на въртене се намира в точката на топката m _2. Какъв е моментът на инерция на топките? Пренебрегнете масата на пръчката.

Известни:

Маса на топката 1 (m1 ₎ = 200 грама = 200/1000 = 0.2 кг

Разстоянието между топката 1 и оста на въртене (r1 ₎ = 60 см = 60/100 = 0.6 м

Маса на топката 2 (m² ₎ = 100 грама = 100/1000 = 0.1 кг

Разстоянието между топката 2 и оста на въртене (r2 ₎ = 0 m

Търси се: Момент на инерция на топките

решение:

I = m1 _/ r1 _/ ² + m2 ^/ _r2 / ₂

I = (0.2 кг)( 0,6 м) ^² + (0.2 кг)(0 ) ^²

I = (0.2 кг)( 0.36 ^м² ) + 0

I = 0.072 kg ^m²

[ирп]

4. Масата на всяка топка е 100 грама, свързани с въже. Дължината на въжето е 60 см, а ширината му е 30 см. Какъв е моментът на инерция на топката спрямо оста на въртене? Пренебрегнете масата на въжето.

Известни:

Маса на топката = m1 ₌ m2 ₌ m3 ₌ m4 ₌ 100 грама = 100/1000 = 0.1 кг

Разстоянието между топката и оста на въртене (r1 ₎ = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Разстоянието между топката 2 и оста на въртене (r2 ₎ = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Разстоянието между топката 3 и оста на въртене (r3 ₎ = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Разстоянието между топката 4 и оста на въртене (r4 ₎ = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Известен: Момент на инерция

решение:

I = m₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + м₄ r₄²

I = (0.1 кг)( 0.3 м) ^² + (0.1 кг)( 0.3 м) ^² + (0.1 кг)(0.3 м)² + (0.1 кг)(0.3 м) ^² + (0,1 кг)(0,3 м) ^²

I = (0.1 кг)( 0.09 м² ⁾ + (0.1 кг)(0.09 м² ⁾ + (0.1 кг)(0.09 м²) + (0.1 кг )(0.09 ^м² ) + (0,1 кг)(0,09 ^м² )

I = 0.036 kg ^m²

[ирп]

Моментът на инерция на твърд обект

5. Какъв е моментът на инерция на равномерен прът с маса 2 кг и дължина 2 м. Оста на въртене е разположена в центъра на пръта.

Известни:

Маса на пръта (M) = 2 кг

Дължината на пръта (L) = 2 м

Търси се: Момент на инерция

решение:

Формулата за момента на инерция, когато оста на въртене е разположена в центъра на дългия равномерен прът:

I = (1/12) ML ²

I = (1/12) (2 кг)( 2 м) ^²

I = (1/12) (2 кг)(4 ^м² )

I = (1/12)(8 кг ^м² )

I = 8/12 kg ^m²

I = 2/3 kg ^m²

[ирп]

6. Какъв е моментът на инерция на равномерен прът с маса 2 кг и дължина 2 м? Оста на въртене е разположена в единия край на пръта.

Известни:

Маса на пръта (M) = 2 кг

Дължината на твърдия прът (L) = 2 м

Търси се: Момент на инерция

решение:

Формулата за момента на инерция, когато оста на въртене е разположена в единия край на пръта:

I = (1/3) ML ²

I = (1/3) (2 кг)( 2 м) ^²

I = (1/3) (2 кг)(4 ^м² )

I = (1/3)(8 кг ^м² )

I = 8/3 kg ^m²

[ирп]

7. Пълен цилиндър с маса 10 кг и радиус 0.1 м. Оста на въртене е разположена в центъра на пълния цилиндър, както е показано на фигурата по-долу. Какъв е моментът на инерция на цилиндъра?

Известни:

Маса на плътния цилиндър (M) = 10 kg

Радиус на цилиндъра (L) = 0.1 м

Търси се: Моментът на инерция

Търси се: Моментът на инерция

решение:

Формула за момента на инерция, когато оста на въртене е разположена в центъра на цилиндъра:

I = (1/2) MR ²

I = (1/2) (10 кг)(0.1 м) ^²

I = (1/2) (10 кг)(0.01 ^м² )

I = (1/2)(0.1 кг ^м² )

I = 0.05 kg ^m²

8. Еднородна сфера с маса 20 кг и дължина 0.1 м. Оста на въртене, разположена в центъра на сферата, е показана на фигурата по-долу.

Известни:

Маса на сферата (M) = 20 kg

Радиусът на сферата (L) = 0.1 м

Търси се: момент на инерция

решение:

Формулата за момента на инерция, когато оста на въртене е разположена в центъра на сферата:

I = (2/5) MR ²

I = (2/5)(20 кг)(0.1 м) ^²

I = (2/5)(20 кг)(0.01 ^м² )

I = (2/5)(0.2 кг ^м² )

I = 0.4/5 kg ^m²

I = 0.08 kg ^m²

[ирп]

9. Тънка правоъгълна плоча с маса 2 кг, дължина 0.5 м и ширина 0.2 м. Оста на въртене е разположена в центъра на правоъгълната плоча, показана на фигурата по-долу. Какъв е моментът на инерция на правоъгълника?

Известни:

Маса на правоъгълна плоча (M) = 2 kg

Дължината на плочата (a) = 0.5 м

Ширината на плочата (b) = 0.2 м

Търси се: Момент на инерция

решение:

Формула за момента на инерция, когато оста на въртене е разположена в центъра на плочата:

I = (1/12 ) M( ^a² + ^b² )

I = (1/12)(2)( ^0.5² + ^0.2² )

I = (2/12)(0.25 + 0.04)

I = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 kg ^m²