Момент на инерция на частици и твърди тела – проблеми и решения

Моментът на инерция на частицата

1. Топка с маса 100 грама, свързана с единия край на въже с дължина 30 см. Какъв е моментът на инерция на топката спрямо оста на въртене AB? Пренебрегнете масата на въжето.

Известни:

Оста на въртене в точка AB

Маса топка (м) = 100 грама = 100/1000 = 0.1 кг

Разстоянието между топката и оста на въртене (r) = 30 см = 0.3 м

Търси се: Момент на инерция на топката (I)

решение:

Аз = г-н.² = (0.1 кг)(0.3 м)²

I = (0.1 кг)(0.09 м²)

I = 0.009 kg m²

2. Топка от 100 грама, m₁и топка от 200 грама, m₂, свързани с пръчка с дължина 60 см. Масата на пръчката се пренебрегва. Оста на въртене се намира в центъра на пръчката. Какъв е моментът на инерция на топката спрямо оста на въртене?

Известни:

Маса на топката 1 (m₁) = 100 грама = 100/1000 = 0.1 кг

Разстоянието между топката 1 и оста на въртене (r₁) = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Маса на топката (m₂) = 200 грама = 200/1000 = 0.2 кг

- разстояние на топката 2 и оста на въртене (r₂) = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Търси се: момент на инерция на топките

Отговор:

I = m₁ r₁² + м₂ r₂²

I = (0.1 кг)(0.3 т)² + (0.2 кг)(0.3 т)²

I = (0.1 кг)(0.09 m²) + (0.2 кг)(0.09 m²)

I = 0.009 кг/м² + 0.018 кг/м²

I = 0.027 кг/м²

3. Топка от 200 грама, m₁ и топка от 100 грама, m_2, свързани с пръчка с дължина 60 см. Пренебрегнете масата на пръчката. Оста на въртене се намира в топката m₂Какъв е моментът на инерция на топките? Пренебрегнете масата на пръта.

Известни:

Маса на топката 1 (m₁) = 200 грама = 200/1000 = 0.2 кг

Разстоянието между топката 1 и оста на въртене (r₁) = 60 см = 60/100 = 0.6 м

Маса на топката 2 (m₂) = 100 грама = 100/1000 = 0.1 кг

Разстоянието между топката 2 и оста на въртене (r₂) = 0 m

Търси се: Момент на инерция на топките

решение:

I = m₁ r₁² + м₂ r₂²

I = (0.2 кг)(0,6 т)² + (0.2 кг)(0)²

I = (0.2 кг)(0.36 m²) + 0

I = 0.072 kg m²

4. Масата на всяка топка е 100 грама, свързани с въже. Дължината на въжето е 60 см, а ширината му е 30 см. Какъв е моментът на инерция на топката спрямо оста на въртене? Пренебрегнете масата на въжето.

Известни:

Маса на топката = m₁ = m₂ = m₃ = m₄ = 100 грама = 100/1000 = 0.1 кг

Разстоянието между топката и оста на въртене (r₁) = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Разстоянието между топката 2 и оста на въртене (r₂) = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Разстоянието между топката 3 и оста на въртене (r₃) = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Разстоянието между топката 4 и оста на въртене (r₄) = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Известни: Момент на инерция

решение:

I = m₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + м₄ r₄²

I = (0.1 кг)(0.3 т)² + (0.1 кг)(0.3 т)² + (0.1 кг)(0.3 м)² + (0.1 кг)(0.3 м)²

I = (0.1 кг)(0.09 m²) + (0.1 кг)(0.09 м²) + (0.1 кг)(0.09 м²) + (0.1 кг)(0.09 м²)

I = 0.036 kg m²

Моментът на инерция на твърд обект

5. Какъв е моментът на инерция на равномерен прът с маса 2 кг и дължина 2 м. Оста на въртене е разположена в центъра на пръта.

Известни:

Маса на пръта (M) = 2 кг

Дължината на пръта (L) = 2 м

Търси се: Момент на инерция

решение:

Формулата за момента на инерция, когато оста на въртене е разположена в центъра на дългия равномерен прът:

I = (1/12) ML²

I = (1/12) (2 кг)(2 т)²

I = (1/12) (2 кг)(4 м²)

I = (1/12)(8 kg m²)

I = 8/12 kg m²

I = 2/3 kg m²

6. Какъв е моментът на инерция на равномерен прът с маса 2 кг и дължина 2 м? Оста на въртене е разположена в единия край на пръта.

Известни:

Маса на пръта (M) = 2 кг

Дължината на твърдия прът (L) = 2 м

Търси се: Момент на инерция

решение:

Формулата за момента на инерция, когато оста на въртене е разположена в единия край на пръта:

I = (1/3) ML²

I = (1/3) (2 кг)(2 т)²

I = (1/3) (2 кг)(4 м²)

I = (1/3)(8 kg m²)

I = 8/3 kg m²

7. Пълен цилиндър с маса 10 кг и радиус 0.1 м. Оста на въртене е разположена в центъра на пълния цилиндър, както е показано на фигурата по-долу. Какъв е моментът на инерция на цилиндъра?

Известни:

Маса на плътния цилиндър (M) = 10 kg

Радиус на цилиндъра (L) = 0.1 м

Търси се: Моментът на инерция

Търси се: Моментът на инерция

решение:

Формула за момента на инерция, когато оста на въртене е разположена в центъра на цилиндъра:

I = (1/2) MR²

I = (1/2) (10 кг)(0.1 м)²

I = (1/2) (10 кг)(0.01 м²)

I = (1/2)(0.1 kg m²)

I = 0.05 kg m²

8. Еднородна сфера с маса 20 кг и дължина 0.1 м. Оста на въртене, разположена в центъра на сферата, е показана на фигурата по-долу.

Известни:

Маса на сферата (M) = 20 kg

Радиусът на сферата (L) = 0.1 м

Търси се: момент на инерция

решение:

Формулата за момента на инерция, когато оста на въртене е разположена в центъра на сферата:

I = (2/5) MR²

I = (2/5)(20 кг)(0.1 м)²

I = (2/5)(20 кг)(0.01 м²)

I = (2/5)(0.2 kg m²)

I = 0.4/5 kg m²

I = 0.08 kg m²

9. Тънка правоъгълна плоча с маса 2 кг, дължина 0.5 м и ширина 0.2 м. Оста на въртене е разположена в центъра на правоъгълната плоча, показана на фигурата по-долу. Какъв е моментът на инерция на правоъгълника?

Известни:

Маса на правоъгълна плоча (M) = 2 kg

Дължината на плочата (a) = 0.5 м

Ширината на плочата (b) = 0.2 м

Търси се: Момент на инерция

решение:

Формула за момента на инерция, когато оста на въртене е разположена в центъра на плочата:

I = (1/12) М (а² + b²)

I = (1/12)(2)(0.5)² + 0.2²)

I = (2/12)(0.25 + 0.04)

I = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 kg m²