Запазване на механичната енергия – проблеми и решения
1. Блок с маса m-kg се освобождава от върха на гладката наклонена равнина , както е показано на фигурата по-долу. Сравнението между гравитационната потенциална енергия и кинетичната енергия на блока в точка M е…
Решение
Гравитационна потенциална енергия в точка M:
PE M = mg (1/3h) = 1/3 mgh
Кинетична енергия в точка M:
KE M = EP = mg (2/3 h) = 2/3 mgh
ЕП М : ЕК М
1/3 мг/г: 2/3 мг/г
1/3 : 2/3
1: 2
2. Скиор, който се плъзга от височина A, както е показано на фигурата по-долу. Ако началната скорост = 0 и ускорението на гравитацията е 10 ms -2 , тогава каква е скоростта на скиора в точка B?
Известни:
Начална скорост (v₂o ) = 0
Ускорение на гравитацията (g) = 10 m/ s²
Промяната във височината = 50 метра – 10 метра = 40 метра
Търси се: Скорост на скиора в точка B
решение:
Принципът за запазване на механичната енергия гласи, че началната механична енергия = крайната механична енергия.
Началната механична енергия = потенциална енергия в точка B (височина = 40 метра)
Крайната механична енергия = кинетична енергия в точка B
Крайната механична енергия = Началната механична енергия
½ mv t² = mgh
½ v t² = gh
½ v t² = ( 10 )(50-10)
½ v t² = ( 10 )(40)
½ v t² = 400
v t 2 = (2)(400) = 800
v t = √800 = √(2)(400) = 20√2 м/с
3. Обект започва да се плъзга от точка А без начална скорост. Ако няма сила на триене, каква е скоростта на обекта в най-ниската точка?
Известни:
Маса на обекта = m
Начална скорост (v₂o ) = 0
Височина (h) = 20 метра
Ускорение на гравитацията (g) = 10 m/ s²
Търсена: Крайна скорост (v t )
решение:
Начална механична енергия (ME1 ) = Гравитационна потенциална енергия в точка A (PEA ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m
Крайна механична енергия (ME² ) = кинетична енергия (KE) = ½ mv t²
Скоростта на обекта в най-ниската точка (vt )?
Прилагането на принципа за запазване на механичната енергия гласи, че началната механична енергия = крайната механична енергия.
ЕМ1 = ЕМ2
200 m = ½ mv t²
200 = ½ v t²
400 = v t 2
v t = 20 м/с
4. Топка с тегло 2 кг пада свободно от точка А, както е показано на фигурата по-долу (g = 10 ms -2 ). След достигане до точка B, кинетичната енергия е 2 пъти потенциалната енергия. Каква е височината на точка B над повърхността на Земята?
Известни:
Маса на топката (m) = 2 kg
Ускорение на гравитацията (g) = 10 ms -2
Височина на точка А (h A ) = 90 метра
Търсена височина: Височина на точка B (h B )
решение:
При достигане на точка B, кинетичната енергия на топката в точка B е 2 пъти гравитационната потенциална енергия в точка B.
ЕК = 2 ЕП
½ mv² = 2 mgh B
½ v 2 = 2 gh B
v2 = 2 (2)(10) hB
v2 = 40 ч B
Скорост (v) на топката, когато тя достигне точка B след свободно падане от точка A:
v 2 = 2 gh = 2(10)(90–h B ) = 20(90–h B )
Заместете v² в горното уравнение с v² в това уравнение.
v2 = 40 ч B
20(90–ч B ) = 40 ч B
1800–20 ч. B = 40 ч. B
1800 = 40 часа B + 20 часа B
1800 = 60 ч. Б
h B = 1800 / 60
h B = 30 метра
5. Топка с тегло 1 кг се пуска и се плъзга надолу от точка А до точка С, както е показано на фигурата по-долу. Ако ускорението на гравитацията = 10 ms -2 , каква е кинетичната енергия на топката, когато тя достигне точка С?
Известни:
Маса на топката (m) = 1 kg
Ускорение на гравитацията (g) = 10 m/ s²
Промяната във височината (h) = 0.75 м
Началната потенциална енергия (PE o ) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 джаула
Начална кинетична енергия (KE₂o ) = ½ mv₂o² = ½ m₂(0) ² = 0
Крайната гравитационна потенциална енергия (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Търси се: Кинетична енергия на топката в точка C
решение:
Началната механична енергия (ME o ) = Крайната механична енергия (ME t )
Началната гравитационна потенциална енергия (PE o ) + началната кинетична енергия (KE o ) = Крайната гравитационна потенциална енергия (PE t ) + крайната кинетична енергия (KE t )
7.5 джаула + 0 = 0 + KE t
7.5 Джаула = KE t
Кинетичната енергия на топката в точка C = 7.5 джаула.
6. Топка с тегло 2 кг е пусната от точка А, както е показано на фигурата по-долу. Равнината на кривата е гладка. Ако ускорението, причинено от гравитацията, е 10 ms⁻² , каква е кинетичната енергия на топката в точка B?
Известни:
Маса на топката (m) = 2 kg
Ускорение на гравитацията (g) = 10 m/ s²
Промяната във височината (h) = 120 см = 1.2 метра
Началната гравитационна потенциална енергия (PE o ) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 джаула
Началната кинетична енергия (KE₂o ) = ½ mv₂o² = ½ m₂(0) ² = 0
Крайната гравитационна потенциална енергия (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Търси се: Кинетична енергия на топката в точка B
решение:
Механичната енергия в точка А (начална механична енергия) = механичната енергия в точка Б (крайна механична енергия)
Началната механична енергия (ME o ) = крайната механична енергия (ME t )
Началната гравитационна потенциална енергия (PE o ) + началната кинетична енергия (KE o ) = крайната гравитационна потенциална енергия (PE t ) + крайната кинетична енергия (KE t )
24 джаула + 0 = 0 + KE t
24 Джаула = KE t
Кинетична енергия (KE) на топката в точка C = 24 джаула.
7. Обектът има фиксирана механична енергия, по-голяма кинетична енергия и по-малка гравитационна потенциална енергия. Обектът е…
А. В покой
Б. движи се нагоре
C. движи се надолу
Г. Ускорено нагоре
решение:
Кинетичната енергия се увеличава, което означава, че скоростта на обекта се увеличава, а гравитационната потенциална енергия е по-малка, което означава, че височината на обекта от повърхността на почвата е по-малка. Това се случва, когато обектът се движи от определена височина надолу към земята.
Връзката между скоростта и кинетичната енергия е показана от формулата за кинетична енергия:
KE = ½ mv²
Описание на формулата: KE = кинетична енергия, m = маса, v = скорост
Връзката между височината и гравитационната потенциална енергия е представена от формулата за гравитационна потенциална енергия:
PE = mgh
Описание на формулата: PE = гравитационна потенциална енергия, m = маса, g = ускорение на гравитацията, h = височина
Правилният отговор е C.
- Какво е механична енергия?
- Отговор: Механичната енергия е сумата от кинетичната и потенциалната енергия на обекта. Кинетичната енергия се отнася до движението на обекта, докато потенциалната енергия се отнася до неговото положение или конфигурация.
- Какво гласи принципът за запазване на механичната енергия?
- Отговор: Принципът гласи, че в изолирана система, в която действат само консервативни сили, общата механична енергия остава постоянна. Това означава, че сумата от кинетичната и потенциалната енергия не се променя с течение на времето.
- Как консервативните и неконсервативните сили влияят върху запазването на механичната енергия?
- Отговор: Консервативните сили, като гравитацията, не променят общата механична енергия на системата. Те могат да преобразуват потенциалната енергия в кинетична или обратно, но сумата остава постоянна. Неконсервативните сили, като триенето, могат да разсейват механичната енергия, обикновено трансформирайки я в топлинна енергия.
- Защо механичната енергия не се запазва в реални сценарии, включващи триене?
- Отговор: Триенето е неконсервативна сила. Когато обектите се движат един към друг, триенето преобразува част от механичната енергия на системата в топлинна енергия, което води до намаляване на общата механична енергия на системата.
- Как се демонстрира запазването на механичната енергия в люлеещо се махало?
- Отговор: При липса на съпротивление на въздуха (неконсервативна сила), когато махалото се люлее нагоре, неговата кинетична енергия се преобразува в гравитационна потенциална енергия. В най-високата точка на люлеенето си, то има максимална потенциална енергия и минимална кинетична енергия. Когато се люлее обратно надолу, тази потенциална енергия се преобразува обратно в кинетична енергия. Общата механична енергия остава постоянна, въпреки че формите на енергия се сменят.
- Защо подскачащата топка в крайна сметка спира дори при липса на външни сили?
- Отговор: Когато топката отскочи, не цялата ѝ кинетична енергия се преобразува обратно в потенциална. Част от енергията се губи, често под формата на звук или деформация на топката, особено поради вътрешно триене в материала, от който е направена. Това са форми на неконсервативни сили, които намаляват механичната енергия на топката с всяко отскокване, докато тя спре да функционира.
- Във влакче на ужасите, къде е най-високата и най-ниската механична енергия?
- Отговор: Общата механична енергия на влакчето на ужасите остава постоянна, ако пренебрегнем съпротивлението на въздуха и триенето. В най-високата точка обаче потенциалната енергия е максимална, докато кинетичната енергия е минимална. При спускане потенциалната енергия се преобразува в кинетична енергия, така че в най-ниската точка кинетичната енергия е максимална, а потенциалната - минимална.
- Как законът за запазване на механичната енергия помага за разбирането на планетарните орбити?
- Отговор: Планетите, обикалящи около звезда като Слънцето, имат както кинетична енергия (поради движението си), така и гравитационна потенциална енергия (поради положението си спрямо Слънцето). Когато планетата се приближава до Слънцето, тя ускорява, увеличавайки кинетичната си енергия, докато гравитационната ѝ потенциална енергия намалява и обратно. Общата механична енергия на планетата остава постоянна във времето, ако приемем, че други сили (като тези от други планети) са незначителни.
- Защо спътник в стабилна орбита не пада на Земята?
- Отговор: Въпреки че спътникът наистина е привлечен към Земята поради гравитацията, неговата кинетична енергия го държи в орбитата си. Балансът на тази кинетична енергия и гравитационната потенциална енергия държи спътника в стабилна орбита с постоянна механична енергия.
- Ако скиор тръгне от покой на върха на хълм без триене и след това се спусне със ски, как ще се сравни скоростта му в долната част с това, ако е тръгнал по средата на хълма?
- Отговор: На хълм без триене, общата механична енергия на скиора се запазва. Ако започне от самия връх, ще има повече потенциална енергия в началото, отколкото ако започне частично надолу. Тази потенциална енергия ще се превърне изцяло в кинетична енергия при спускане. По този начин, той ще бъде по-бърз в долната част, ако започне от върха, отколкото ако започне частично надолу.
