转动惯量、质点和刚体——问题与解答

粒子的转动惯量

1. 一个质量为100克的球连接在一根长30厘米的绳子的一端。忽略绳子的质量，求球绕旋转轴AB的转动惯量。

已知：

AB点的旋转轴

小球质量(m) = 100 克 = 100/1000 = 0.1 千克

小球到旋转轴的距离 (r) = 30 厘米 = 0.3 米

求：球的转动惯量（I）

解决方案：

I = mr² ⁼ (0.1 kg)(0.3 m) ^²

I = (0.1 kg)(0.09 m ² )

I = 0.009 kg m ²

[irp]

2. 一个质量为100克的球（m₁ _）和一个质量为200克的球（m₂ _）通过一根长60厘米的杆连接。忽略杆的质量。旋转轴位于杆的中心。求球绕旋转轴的转动惯量。

已知：

球1的质量（m1 _） = 100克 = 100/1000 = 0.1千克

球 1 到旋转轴的距离 (r1 ₎ = 30 厘米 = 30/100 = 0.3 米

小球的质量 (m² ₎ = 200 克 = 200/1000 = 0.2 千克

球 2 到旋转轴的距离 (r₂ ) _{= 30}厘米= 30/100 = 0.3 米

求：球的转动惯量

回答 ：

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.2 kg)( 0.3 m) ²

I = (0.1 kg)( 0.09 m ² ) + (0.2 kg)( 0.09 m ² )

I = 0.009 kg m ² + 0.018 kg m ²

I = 0.027 kg m ²

[irp]

3. 一个质量为200克的球（m₁ _）和一个质量为100克的球（m₂ _）通过一根长60厘米的杆连接。忽略杆的质量。旋转轴位于球m₂_处。求这两个球的转动惯量。忽略杆的质量。

已知：

球1的质量（m1 _） = 200克 = 200/1000 = 0.2千克

球 1 与旋转轴之间的距离 (r₄ ₎ = 60 厘米 = 60/100 = 0.6 米

球2的质量（m2 _） = 100克 = 100/1000 = 0.1千克

球 2 与旋转轴之间的距离 (r2 ₎ = 0 米

求：球的转动惯量

解决方案：

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.2 kg)( 0,6 m) ² + (0.2 kg)(0 ) ²

I = (0.2 kg)( 0.36 m ² ) + 0

I = 0.072 kg m ²

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4. 每个小球的质量均为100克，用绳子连接。绳子的长度为60厘米，宽度为30厘米。求小球绕旋转轴的转动惯量。忽略绳子的质量。

已知：

小球的质量 = m₁ ₌ m₂ ₌ m₃ ₌ m₄ ₌ 100克 = 100/1000 = 0.1 千克

小球到旋转轴的距离 (r₁ ₎ = 30 厘米 = 30/100 = 0.3 米

球 2 与旋转轴之间的距离 (r₄ ₎ = 30 厘米 = 30/100 = 0.3 米

球 3 与旋转轴之间的距离 (r₄ ₎ = 30 厘米 = 30/100 = 0.3 米

球 4 与旋转轴之间的距离 (r₄ ₎ = 30 厘米 = 30/100 = 0.3 米

已知：转动惯量

解决方案：

I = m₁ r₁² + 米₂ r₂² + 米₃ r₃² + 米₄ r₄²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.1 kg)(0.3 m) ² + (0.1 kg)(0.3 m) ²

I = (0.1 kg)( 0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² )

I = 0.036 kg m ²

[irp]

刚体的转动惯量

5. 一根质量为 2 kg、长度为 2 m 的均匀杆，其转动惯量是多少？旋转轴位于杆的中心。

已知：

杆的质量 (M) = 2 kg

杆的长度 (L) = 2 米

求：转动惯量

解决方案：

当旋转轴位于长均匀杆的中心时，转动惯量的计算公式为：

I = (1/12) ML ²

I = (1/12) (2 kg)( 2 m) ²

I = (1/12) (2 kg)(4 m ² )

I = (1/12)(8 kg m ² )

I = 8/12 kg m ²

I = 2/3 kg m ²

[irp]

6. 一根质量为 2 kg、长度为 2 m 的均匀杆，其转动惯量是多少？旋转轴位于杆的一端。

已知：

杆的质量 (M) = 2 kg

刚性杆的长度 (L) = 2 米

求：转动惯量

解决方案：

当旋转轴位于杆的一端时，转动惯量的计算公式为：

I = (1/3) ML ²

I = (1/3) (2 kg)( 2 m) ²

I = (1/3) (2 kg)(4 m ² )

I = (1/3)(8 kg m ² )

I = 8/3 kg m ²

[irp]

7. 一个质量为 10 kg、半径为 0.1 m 的实心圆柱体，其旋转轴位于圆柱体的中心，如下图所示。求该圆柱体的转动惯量。

已知：

实心圆柱体的质量 (M) = 10 kg

圆柱体半径 (L) = 0.1 米

寻找：惯性矩

寻找：惯性矩

解决方案：

当旋转轴位于圆柱体中心时，转动惯量的计算公式为：

I = (1/2) MR ²

I = (1/2) (10 kg)(0.1 m) ²

I = (1/2) (10 kg)(0.01 m ² )

I = (1/2)(0.1 kg m ² )

I = 0.05 kg m ²

8. 一个质量为 20 千克、长度为 0.1 米的均匀球体。旋转轴位于球心，如下图所示。

已知：

球体质量 (M) = 20 kg

球的半径 (L) = 0.1 米

需要：片刻的惯性

解决方案：

当旋转轴位于球心时，转动惯量的计算公式为：

I = (2/5) MR ²

I = (2/5)(20 kg)(0.1 m) ²

I = (2/5)(20 kg)(0.01 m ² )

I = (2/5)(0.2 kg m ² )

I = 0.4/5 kg m ²

I = 0.08 kg m ²

[irp]

9. 如图所示，一块质量为2 kg、长0.5 m、宽0.2 m的矩形薄板，其旋转轴位于薄板中心。求该矩形薄板的转动惯量。

已知：

矩形板的质量 (M) = 2 kg

板的长度 (a) = 0.5 米

板的宽度 (b) = 0.2 米

需求：转动惯量

解决方案：

当旋转轴位于板中心时，转动惯量的计算公式为：

I = (1/12 ) M( ^a2 + ^b2 )

I = (1/12)(2)(0.5 ² + 0.2 ² )

I = (2/12)(0.25 + 0.04)

I = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 kg m ²