粒子转动惯量——问题与解答—

粒子转动惯量——问题与解答

1. 如图所示，两球通过一根杆连接。忽略杆的质量。球 P 的质量为 600 克，球 Q 的质量为 400 克。求该系统绕 AB 点的转动惯量。

已知：

旋转轴为AB。质点转动惯量——问题与解答 1

m _p = 600 克 = 0.6 千克，m _q = 400 克 = 0.4 千克

r _p = 20 cm = 0.2 m，r _q = 50 cm = 0.5 m

求：系统的转动惯量

解决方案：

I = m _p r _p² + m _q r _q²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ² + (0.4 kg)(0.5 m) ²

I = (0.6 kg)(0.04 m ² ) + (0.4 kg)(0.25 m ² )

I = 0.024 kg m ² + 0.1 kg m ²

I = 0.124 kg m ²

2. 质量为 2kg 的杆 AB 绕 A 点旋转，杆的转动惯量为 8kg·m² ^。如果绕 O 点旋转（AO = OB），杆的转动惯量是多少？

已知：质点转动惯量——问题与解答 2

杆AB的质量(m) = 2 kg

如果绕点 A 旋转，使得旋转半径 (r) = AB 的长度 = r，则转动惯量 (I) = 8 kg· ^m²

求：如果杆绕点 O 旋转，使得旋转半径 (r) = AO 的长度 = OB 的长度 = 1/2 r，那么杆的转动惯量是多少？

解决方案：

我 = 先生²

8 kg m ² = (2 kg) r ²

8 m ² = (2) r ²

r ² = 8 米² / 2

r ² = 4 米²

r = 2 米

如果绕点 O 旋转，使得 ½ r = 1 米，则转动惯量为：

I = mr² ⁼ (2 kg)(1 m) ^² = (2 kg)(1 m² ⁾ = 2 kg ^m²

3. 如图所示，两个小球通过一根杆连接。忽略杆的质量。求该系统的转动惯量。

已知：

球 A 的质量 (m)_A) = 200 克 = 0.2 千克质点转动惯量——问题与解答 3

球B的质量（m _B）= 400克 = 0.4千克

球A到旋转轴的距离（r _A）= 0

球 B 到旋转轴的距离 (r _B ) = 25 厘米 = 0.25 米

求：系统的转动惯量

解决方案：

球A的转动惯量：

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(0) ² = 0

球B的转动惯量：

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

系统的转动惯量：

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m ² = 25 × 10 ^-3 kg m ²

4. 如图所示，有四个质量不同的粒子。求该系统绕水平线 P 的转动惯量。

解决方案

旋转轴是水平线 P。

已知：质点转动惯量——问题与解答 4

粒子 A 的质量 (m _A ) = m

粒子 B 的质量 (m _B ) = 2m

粒子 C 的质量 (m _C ) = 3m

粒子通过距离 D (m _D ) = 4m

粒子 A 与旋转轴之间的距离 (r _A ) = b

粒子 B 与旋转轴之间的距离 (r _B ) = b

粒子 C 与旋转轴之间的距离 (r _C ) = 2b

粒子 D 与旋转轴之间的距离 (r _D ) = 2b

求：系统绕水平线 P 的转动惯量

解决方案：

I = m _A r _A² + m _B r _B² + m _C r _C² + m _D r _D²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 mb ²

5. 四个质点通过一根杆连接。忽略杆的质量。求如图所示的杆绕通过质点 m1 和 m2 的_旋转轴_的转动惯量。

已知的

粒子 1 的质量 (m)₁) = 1/4 千克质点转动惯量——问题与解答 5

粒子 2 的质量 (m2 ₎ = 1/2 kg

粒子 3 的质量 (m3 ₎ = 1/4 kg

粒子 4 的质量 (m4 ₎ = 1/4 kg

粒子 1 与旋转轴之间的距离 (r1 ₎ = 0

粒子 2 与旋转轴之间的距离 (r2 ₎ = 0

粒子 3 与旋转轴之间的距离 (r₄ ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

粒子 4 与旋转轴之间的距离 (r₄ ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

需求：惯性矩

解决方案：

I = m ₁ r ₁² + m ₂ r ₂² + m ₃ r ₃² + m ₄ r ₄²

I = (1/4)(0) ^² + (1/2)(0) ^² + (1/4)(1/10) ^² + (1/4)(1/10) ^²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

我 = 2/400

I = 1/200 kg· ^m²

质点的转动惯量是多少？
- 回答对于单个质量为的粒子 $m$ 远距离 $r$ 相对于旋转轴，其转动惯量 $I$ 由...给出 $I = m \times r^{2}$ .
为什么转动惯量经常被称为质量的“旋转类比”？
- 回答质量是衡量物体抵抗其平动运动变化的能力（根据牛顿第二定律），转动惯量是衡量物体抵抗其旋转运动变化的能力。
改变粒子与其旋转轴之间的距离会如何影响其转动惯量？
- 回答转动惯量与物体到旋转轴距离的平方成正比。如果距离加倍，转动惯量将增加到原来的四倍。
为什么距离的平方是（r）²在转动惯量公式中，是否使用了距离而不是距离？
- 回答之所以使用距离的平方，是因为旋转动能的运作方式。在旋转运动中，物体的每个质点对旋转动能的贡献取决于其质量和到轴距离的平方。
如果一个粒子的质量增加到原来的三倍，而它与轴线的距离保持不变，那么该粒子的转动惯量会如何变化？
- 回答如果质量增加三倍，距离保持不变，则转动惯量也会增加三倍，因为转动惯量与质量成正比。
粒子的转动惯量可以为零吗？如果可以，在什么条件下可以？
- 回答是的，如果一个粒子位于旋转轴上，则其转动惯量为零，此时粒子与旋转轴的距离最小。 $r$ 从坐标轴算起，等于零。
为什么质量和尺寸相同的物体绕不同轴旋转时，其转动惯量却不同？
- 回答物体绕旋转轴的质量分布决定了其转动惯量。即使两个物体的质量和尺寸相同，它们相对于旋转轴的质量分布也可能不同，从而导致不同的转动惯量。
转动惯量是标量还是矢量？
- 回答转动惯量是一个标量。但是，对于形状复杂、具有多个旋转轴的刚体，它可以用张量来表示。
如果两个粒子，每个粒子的质量均为 $m$ 位于相距…… $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 从旋转轴算起，组合转动惯量是多少？
- 回答：各个粒子的转动惯量是可叠加的。因此，组合转动惯量 $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
转动惯量与角动量守恒有何关系？
- 回答角动量 $L$ 是转动惯量的乘积 $I$ 角速度 $ω$ 用以下方程表示 $L = I \times ω$ 如果系统不受任何外部力矩作用，则角动量将保持不变。这意味着，如果转动惯量发生变化（例如花样滑冰运动员收拢手臂），则角速度必须相应调整，以保持转动惯量和角速度的乘积保持不变。