בערנולי'ס פאָרמולע

בערנולי'ס פאָרמולע: פּרינציפּן און אַפּליקאַציעס

בערנולי'ס פרינציפ איז א יסודות'דיגער קאנצעפט אין פליסיק מעכאניק, אנטדעקט דורך דניאל בערנולי, א שווייצער וויסנשאפטלער, אין 18טן יארהונדערט. דער פרינציפ דערקלערט די באציאונג צווישן דער שנעלקייט פון א פליסיקן שטראם און דעם דרוק אין יענעם שטראם. דער ארטיקל וועט דיסקוטירן בערנולי'ס פארמולע אין טיפקייט, אירע גרונט קאנצעפטן, מאטעמאטישע דעריוואציעס, רעכענונג ביישפילן, און אירע אנווענדונגען אין טעגליכן לעבן.

פֿאַרשטיין בערנולי'ס פֿאָרמולע

בערנולי'ס פאָרמולע זאָגט אַז אין אַן אידעאַלן פליסיקן שטראָם (אָן רייַבונג), איז די מאָס מעכאַנישע ענערגיע (פּאָטענציעלע ענערגיע, קינעטישע ענערגיע, און דרוק) פּער איינהייט באַנד קאָנסטאַנט איבערן גאַנצן שטראָם. די פאָרמולע ווערט אויסגעדריקט ווי:

[P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{קאָנסטאַנט} \]

די מאנא:
– \(P \) איז דער פליסיקייט דרוק (אין פּאַסקאַלן, פּאַ),
– \( \rho \) איז די געדיכטקייט פון דער פליסיקייט (אין קילאָגראַם פּער קוביק מעטער, ק״ג/מ³),
– \(v \) איז די פליסיקייט שטראָם גיכקייט (אין מעטער פּער סעקונדע, מ/ס),
– \(g \) איז די אַקסעלעראַציע רעכט צו גראַוויטאַציע (אין מעטער פּער סעקונדע קוואַדראַטיש, m/s²),
– \(h \) איז די הייך פון דער פליסיקייט העכער דער רעפערענץ (אין מעטער, מ).

בערנולי'ס פּרינציפּ

בערנולי'ס פרינציפ איז באזירט אויף דעם געזעץ פון ענערגיע קאנסערוואציע. אין פליסיקן שטראם, מוז די גאנצע ענערגיע אין א סיסטעם בלייבן קאנסטאנט אויב קיין ענערגיע ווערט נישט צוגעגעבן אדער אוועקגענומען פון דער סיסטעם. די גאנצע ענערגיע פער איינהייט פארנעם באשטייט פון:
1. דרוק ענערגיע (\(P \)): ענערגיע געפֿירט דורך פליסיק דרוק.
2. קינעטישער ענערגיע (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): ענערגיע געפֿירט דורך פֿליסיקייט באַוועגונג.
3. גראַוויטאַציאָנעלע פּאָטענציעלע ענערגיע (\( \rho gh \)): ענערגיע געפֿירט דורך דער פּאָזיציע פֿון אַ פֿליסיקייט אין אַ גראַוויטאַציאָנעלן פֿעלד.

מאַטעמאַטישע דעריוואַציע פון ​​בערנולי'ס פאָרמולע

כדי צו פֿאַרשטיין די אָפּלייגונג פֿון בערנולי'ס פֿאָרמולע, באַטראַכטן מיר אַ קליין עלעמענט פֿון פֿליסיקייט וואָס באַוועגט זיך אין אַ פֿלוס מיט גיכקייט \(v \) פֿון פּונקט 1 צו פּונקט 2. אויב מיר נעמען אָן אַז עס איז נישטאָ קיין ענערגיע־פֿאַרלוסט צוליב רייַבונג אָדער היץ, מוז די גאַנצע ענערגיע אין פּונקטן 1 און 2 זײַן די זעלבע.

די גאַנצע ענערגיע ביי פּונקט 1 (\( E_1 \)) איז:

[E₂ = P₂ + \frac{1}{1} \rho v₂^1 + \rho gh₂ \]

די גאַנצע ענערגיע ביי פּונקט 2 (\( E_2 \)) איז:

[E₂ = P₂ + \frac{1}{2} \rho v₂^2 + \rho gh₂ \]

זינט די גאַנצע ענערגיע מוז זיין קאָנסטאַנט:

[P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]

דאָס איז וואָס מען רופט בערנולי'ס פֿאָרמולע.

בייַשפּיל קאַלקולאַציע ניצן בערנולי'ס פאָרמולע

לאָמיר זאָגן מיר האָבן אַ האָריזאָנטאַלע רער מיט וואַסער וואָס פליסט פֿון פּונקט א צו פּונקט ב. ביי פּונקט א איז די וואַסער גיכקייט 2 מעטער/סעקונדע און דער דרוק איז 150,000 פּאַ. ביי פּונקט ב איז די וואַסער גיכקייט 4 מעטער/סעקונדע. די געדיכטקייט פֿון וואַסער איז 1000 ק״ג/מ³. רעכנט אויס דעם דרוק ביי פּונקט ב.

ניץ בערנולי'ס פאָרמולע:

[P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B]

זינט די רער איז האָריזאָנטאַל, \( h_A = h_B \), אַזוי \( \rho gh \) אין ביידע פונקטן קען זיין איגנאָרירט:

[P_A + \frac{1}{2} −v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} −v_B^2 \]

פאַרבייטן די באַקאַנטע ווערטן:

[150,000 + \frac{1}{2} \מאל 1000 \מאל (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \מאל 1000 \מאל (4)^2 \]

רעכנט אויס די קינעטישע ענערגיע ביי ביידע פונקטן:

\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]

\[ 152,000 = P_B + 8000 \]

\[ P_B = 152,000 – 8000 \]

\[ פּ_ב = 144,000 \, \טעקסט{פּאַ} \]

אַזוי, דער דרוק ביי פּונקט ב איז 144,000 פּאַ.

אַפּליקאַציע פון ​​בערנולי'ס פּרינציפּ

1. עראָפּלאַנען: בערנולי'ס פּרינציפּ ווערט גענוצט אין דעם פּלאַן פון עראָפּלאַן פליגלען. די פאָרעם פון אַן עראָפּלאַן פליגל איז דיזיינד אַזוי אַז די לופט גיכקייט העכער דעם פליגל איז גרעסער ווי אונטער דעם פליגל. דאָס רעזולטאַט איז אַ נידעריקער דרוק העכער דעם פליגל און העכער דרוק אונטער דעם פליגל, וואָס שאַפֿט דעם ליפט וואָס אַלאַוז דעם עראָפּלאַן צו פליען.

2. ראַסינג וועהיקלעס: דער אַעראָדינאַמישער פּלאַן פון ראַסינג וועהיקלעס ניצט בערנולי'ס פּרינציפּ צו פאַרגרעסערן גיכקייט און פעסטקייט. ספּוילערס און דיפיוזערז ווערן גענוצט צו רעגולירן לופט שטראָם, וואָס פאַרגרעסערט דאַונפאָרס, וואָס פֿאַרבעסערט די טראַקשאַן פון די וועהיקל אויף דער וועג.

3. בלוט שטראָם אין דעם קערפּער: בערנולי'ס פּרינציפּ גילט אויך פֿאַר בלוט שטראָם דורך בלוט כלים. אונטערשיידן אין בלוט שטראָם גיכקייט און דרוק אין פֿאַרשידענע טיילן פֿון דעם קערפּער קענען שטודירט ווערן צו דיאַגנאָזירן מעדיצינישע צושטאַנדן.

4. ווענטורי מעטער: א מיטל גענוצט צו מעסטן די שטראָם ראטע פון ​​פליסיקייט אין א רער. א ווענטורי מעטער האט א פארענגערן סעקציע, וואס פאראורזאכט א פארגרעסערונג אין פליסיק שטראָם גיכקייט און א פארקלענערונג אין דרוק לויט בערנולי'ס פרינציפ. דער דרוק אונטערשייד צווישן די ברייטע און שמאלע סעקציעס ווערט גענוצט צו רעכענען די שטראָם ראטע.

5. פּאַרפום שפּריצערס: פּאַרפום שפּריצערס אדער פליסיק שפּריצערס נוצן בערנולי'ס פּרינציפּ. ווען לופט ווערט געבלאָזן דורך אַ שמאָלע רער, פאַרקלענערט זיך דער לופט דרוק אַרום דעם עק פון דער רער, ציט די פּאַרפום פליסיקייט אַרויף דורך דער רער און שפּריצט עס ווי אַ פיינער נעפּל.

פאַקטאָרן וואָס האָבן אַן השפּעה אויף דער אַפּליקאַציע פון ​​בערנולי'ס פּרינציפּ

1. רייבונג: אין דער ווירקלעכקייט, זענען פליסיקייטן נישט אידעאל און עס איז שטענדיק דא אינערליכע רייבונג (וויסקאָסיטי) וואָס פאַראורזאַכט ענערגיע פאַרלוסט. דאָס מאַכט די אַפּליקאַציע פון ​​בערנולי'ס פּרינציפּ מער קאָמפּליצירט.

2. פליסיק קאַמפּרעסאַביליטי: בערנולי'ס פּרינציפּ איז גרינגער צו צולייגן צו נישט קאַמפּרעסאַבאַל פליסיקייטן (ווי וואַסער). פֿאַר גאַזן אָדער קאַמפּרעסאַבאַל פליסיקייטן, מוז די גלייכונג ווערן אַדזשאַסטיד.

3. טורבולענץ: בערנולי'ס פרינציפ גילט פאר לאמינארן (רעגולערן) שטראָם. ביי טורבולענטן (אומרעגולערן) שטראָם ווערט די אנאליז מער קאמפליצירט.

פאַל שטודיע: נוצן פון בערנולי'ס פּרינציפּ אין ערקראַפט פליגל פּלאַן

דער דיזיין פון אַן עראָפּלאַן פליגל איז אַ קלאַסיש בייַשפּיל פון בערנולי'ס פּרינציפּ אין אַקציע. די געבויגענע אויבערשטער און פלאַכער אונטערשטער פאָרעם פון דעם פליגל ערלויבט לופט צו פליסן שנעלער איבער דעם פליגל ווי אונטער אים. לויט בערנולי'ס פּרינציפּ, די העכערע לופטפלוס גיכקייט איבער דעם פליגל פּראָדוצירט נידעריקער דרוק ווי אונטער דעם פליגל. דער דרוק חילוק שאַפט די ליפט קראַפט וואָס ערלויבט דעם עראָפּלאַן צו פליען.

לאָמיר זאָגן אַז אַן עראָפּלאַן האָט אַ פליגל־שטח פֿון 25 מ². די לופֿט־גיכקייט העכער דעם פליגל איז 70 מ/ס, בשעת אונטערן פליגל איז עס 50 מ/ס. די לופֿט־געדיכטקייט איז 1.225 ק״ג/מ³. רעכנט אויס די רעזולטאַטן־ליפֿט.

1. רעכנט אויס דעם דרוק-אונטערשייד (\( ΔP \)) ניצנדיק בערנולי'ס פאָרמולע:

\[ פּ_{אונטן} – פּ_{אויבן} = \frac{1}{2} \rho (v_{אויבן}^2 – v_{אונטן}^2) \]

פאַרבייטן די באַקאַנטע ווערטן:

[ΔP = 1/2 × 1.225 (70² – 50²)]

[ΔP = 1/2 × 1.225 (4900 – 2500)]

[\דעלטאַ פּ = \frac{1}{2} \× 1.225 \× 2400 \]

[דעלטאַ פּ = 1.225 מאָל 1200]

[דעלטאַ פּ = 1470, פּאַ]

2. רעכנט אויס די ליפט קראַפט (\( F_{ליפט} \)):

[ F_{ליפט} = ΔP מאָל A]

\[ F_{ליפט} = 1470 \, \text{Pa} \times 25 \, \text{m}^2 \]

\[ F_{ליפט} = 36,750 \, \טעקסט{

נ} \]

אַזוי, די רעזולטאַט ליפטינג קראַפט איז 36,750 ניוטאָן.

קעסימפּולאַן

בערנולי'ס פרינציפ איז איינער פון די יסודות פון פליסיק מעכאניק, וואס דערקלערט די באציאונג צווישן פליסיק שטראָם גיכקייט און דרוק. דורך פארשטיין און אנwenden בערנולי'ס פארמולע, קענען מיר אנאליזירן און דיזיינען א פארשיידנקייט פון סיסטעמען וואס האבן צו טון מיט פליסיק שטראָם, פון עראפלאנען ביז שטראָם מעטערס. כאטש אין פראקטיק מוזן מיר אפט באטראכטן פאקטארן ווי רייבונג און טורבולענץ, בלייבט בערנולי'ס פרינציפ א וויכטיגע געצייג אין פארשטיין פליסיק דינאמיק און דיזיינען עפעקטיווע אינזשעניריע לייזונגען.