די פּאָזיציע פֿון צוויי קרייזן: אַ געאָמעטרישע אַנאַליז
אין מאטעמאטיק, ספעציעל אין געאמעטריע, שפילט פארשטיין די פאזיציע פון צוויי קרייזן א קריטישע ראלע. קרייזן זענען איינע פון די גרונטלעכע געאמעטרישע פארמען וואס מען טרעפט אָפט אין ביידע טעאָריע און פּראַקטישע אַפּליקאַציעס. די פאזיציע פון צוויי קרייזן גיט אן איינבליק אין די אינטעראַקציע פון די צוויי פארמען ווען זיי ווערן געשטעלט אין א פלאַך. די שטודיע נעמט ארום אן אנאליז פון די פארשידענע מעגלעכע אינטעראַקציעס וואס קענען פּאַסירן, פון נישט-אינטערסעקציע ביז אינטערסעקציע. דער אַרטיקל וועט אויספירלעך איבערקוקן די פאזיציע פון צוויי קרייזן און פארשידענע פארבונדענע אַספּעקטן.
דעפֿיניציעס און נאָטאַציעס
ערשטנס, לאָמיר פֿאָרמעל דעפֿינירן צוויי קרייזן אין דער קאַרטעזישער פֿלאַך. דער קרייז \(C_1\) מיטן צענטער \(P_1(x_1, y_1)\) און ראַדיוס \(r_1\) קען אויסגעדריקט ווערן דורך דער גלייכונג:
\[
C_1 : (x – x_1)^2 + (y – y_1)^2 = r_1^2
\]
אזוי אויך, דער קרייז \(C_2\) מיטן צענטער \(P_2(x_2, y_2)\) און ראַדיוס \(r_2\) ווערט רעפּרעזענטירט דורך:
\[
C_2 : (x – x_2)^2 + (y – y_2)^2 = r_2^2
\]
די פאזיציע פון די צוויי קרייזן ווענדט זיך אין דער דיסטאַנץ צווישן זייערע צענטערס (\(d\)) און דער לענג פון זייערע ראַדיוסן. די דיסטאַנץ \(d\) צווישן די צענטערס פון די צוויי קרייזן \(P_1\) און \(P_2\) קען מען אויסרעכענען מיט דער פאָרמולע:
\[
ד = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
צוויי קרייז פּאָזיציע קאַטעגאָריע
בכלל, זענען דא פינף פאזיציעס וואס די צוויי קרייזן קענען דערפארן:
1. צופאַל (צוויי קרייזן גלייַכן)
2. נישט-אינטערסעקטירנדיק (קעגנזייַטיק אויסשליסנדיק)
3. עקסטערנער טאַנגענט
4. אינערלעכע באַרירונג (אינערלעכע טאַנגענט)
5. זיך דורכשניידן
יעדע פון די קאטעגאריעס האט אירע אייגענע געאמעטרישע באדינגונגען, וועלכע מיר וועלן דיסקוטירן אין דעטאל ווייטער.
1. צופאַל (צוויי קרייזן גלייַכן)
צוויי קרייזן ווערן באטראכט אלס צוזאמענפאלנדיק אדער צוזאמענפאלנדיק אויב זיי האבן דעם זעלבן צענטער און דעם זעלבן ראדיוס. מאטעמאטיש מיינט דאס:
\[
P_1 \equiv P_2 \quad \text{און} \quad r_1 = r_2
\]
אין דעם פאַל, \(d = 0\). די צוויי קרייזן זענען אידענטיש, און יעדער פונקט אויף איין קרייז איז אַ פונקט אויף דעם אַנדערן קרייז.
2. נישט-אינטערסעקטירנדיק (קעגנזייַטיק אויסשליסנדיק)
צוויי קרייזן ווערן געזאגט צו זיין נישט-אינטערעסירנדיק אונטער צוויי באדינגונגען:
– ערשטע באַדינגונג: ווען די דיסטאַנץ צווישן די צענטערס פון די צוויי קרייזן (ד) איז גרעסער ווי די סומע פון די לענג פון זייערע ראַדיוסן:
\[
ד > ר_1 + ר_2
\]
– צווייטע באַדינגונג: ווען איין קרייז איז אינעווייניק פון אן אנדערן קרייז אָן זיך אָנרירן בכלל. דאָס פּאַסירט אויב:
\[
d < |r_1 - r_2| \] אין ביידע פעלער, איז נישטא קיין געמיינזאמע פונקט צווישן די קרייזן \(C_1\) און \(C_2\). 3. אויסערליכע טאנגענט צוויי קרייזן זענען אויסערליכע טאנגענטן אויב זיי רירן זיך אן אין א פונקט און זענען אויף דער אויסערליכער זייט פון יעדן אנדערן. דאס פאסירט אויב די דיסטאנץ צווישן די צענטערס פון די צוויי קרייזן איז גלייך צו דער סומע פון זייערע ראדיוסן:
