באַשטימטע אינטעגראַל

באַשטימטע אינטעגראַל: דעפֿיניציע, באַגריף און אַפּליקאַציע

אינטעגראל איז איינע פון ​​די גרונטלעכע קאנצעפטן אין קאלקולוס וואס שפילט א גאר וויכטיגע ראלע אין פארשידענע פעלדער פון וויסנשאפט, אריינגערעכנט מאטעמאטיק, פיזיק, אינזשעניריע און עקאנאמיק. א באשטימטער אינטעגראל איז א טיפ אינטעגראל וואס האט געוויסע גרענעצן פון אינטעגראציע, נעמליך א נידעריגערע און אויבערשטע גרעניץ, וואס צייכענען דעם אינטערוואל פון אינטעגראציע. אנדערש ווי אומבאגרענעצטע אינטעגראלן וואס פראדוצירן אנטי-דעריוואטיווע פונקציעס, האבן באשטימטע אינטעגראלן נומערישע ווערטן און ווערן אפט גענוצט צו רעכענען די שטח אונטער א קורווע, דעם פארנעם פון דריי-שטאף, און פארשידענע אנדערע פראקטישע אנווענדונגען.

דעפֿיניציע פֿון באַשטימטן אינטעגראַל

דער באַשטימטער אינטעגראַל פֿון אַ פֿונקציע \(f(x) \) אויף דעם אינטערוואַל \([a, b]\) ווערט באַצייכנט ווי:

[\int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

דאָ, _(a)_ און _(b)_ זענען די אונטערשטע און אויבערשטע גרענעצן פון אינטעגראַציע, ריספּעקטיוולי. די אינטעגראַציע גיט א נומער וואָס רעפּרעזענטירט די אַקומולאַציע פון ​​ווערטן פון דער פונקציע _(f(x)_) אין דעם קייט _(a)_ ביז _(b_). געאמעטריש, קען מען דעפינירן א באַשטימטער אינטעגראַל ווי דער שטח באַגרענעצט דורך דער קורווע _(y = f(x)_), די x-אַקס, און די ווערטיקאַלע ליניעס _(x = a)_ און _(x = b_).

גרונט־קאָנצעפּט פֿון באַשטימטן אינטעגראַל

פונדאַמענטאַלע טעאָרעמען פון קאַלקולוס

דער פונדאַמענטאַלער טעאָרעם פון קאַלקולוס פֿאַרבינדט דעם באַגריף פֿון אינטעגראַלן מיטן באַגריף פֿון דעריוואַטיוון (דיפֿערענציאַציע). דער טעאָרעם איז צעטיילט אין צוויי טיילן:

1. ערשטער טייל פון דער טעארעם: אויב \(F \) איז אן אנטידעריוואטיוו (פרימיטיווע פונקציע) פון דער פונקציע \(f \) אויף דעם אינטערוואַל \([a, b]\), דעמאָלט:

[\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) – F(a) \]

די סעקציע ווייזט אז דער באשטימטער אינטעגראל קען אויסגערעכנט ווערן דורך געפינען דעם אנטידעריוואטיוו פון \(f(x) \), און דערנאך אויסרעכענען דעם חילוק צווישן די ווערטן פון דעם אנטידעריוואטיוו ביי די אויבערשטע און אונטערשטע גרענעצן.

2. צווייטער טייל פון דער טעארעם: אויב \(f \) איז א קאנטינעווערע פונקציע אויף \([a, b]\) און \(F(x) \) איז א פונקציע דעפינירט ווי:

[ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt \]

דעמאָלט \( F'(x) = f(x) \). דאָס ווײַזט אַז די דעריוואַטיוו פֿון דעם אינטעגראַל פֿון אַ פֿונקציע איז גלייך צו דער פֿונקציע אַליין.

קאַלקולאַציע מעטאָד

אנאליטישע רעכענונג פון באשטימטע אינטעגראלן נעמט געווענליך אריין צוויי הויפט טריט:
– געפינט די אַנטידעריוואַטיוו \( F(x) \) פון דער געגעבענער פונקציע \( f(x) \).
– רעכנט אויס דעם ווערט פון \(F \) ביי די אויבערשטע און אונטערשטע גרענעצן פון אינטעגראציע, און דערנאך געפינט דעם חילוק צו באקומען דעם אינטעגראל רעזולטאט.

למשל, לאָמיר זאָגן מיר ווילן אויסרעכענען \( \int_{2}^{5} 3x^2 \, dx \).
1. די אַנטידעריוואַטיוו פון ∫(3x^2) איז ∫(F(x) = x^3).
2. רעכנט אויס \(F \) ביי די אויבערשטע און אונטערשטע גרענעצן:

\[ F(5) = 5^3 = 125 \]
\[ F(2) = 2^3 = 8 \]

אַלזאָ, [\int_{2}^{5} 3x^2 \, dx = 125 – 8 = 117 \]

באַשטימטע אינטעגראַלע אַפּליקאַציעס

שטח אונטער דער קורווע

איינע פון ​​די מערסט געוויינטלעכע אנווענדונגען פון דעם באשטימטן אינטעגראל איז צו רעכענען די שטח אונטער א קורווע. לאָמיר זאָגן מיר ווילן רעכענען די שטח אונטער דער קורווע (y = f(x)) פון (x = a) ביז (x = b). מיר קענען ניצן דעם באשטימטן אינטעגראל צו געפֿינען די שטח:

שטח = a^b f(x) , dx

באַנד פון ראָטירנדיקע אָביעקטן

באַשטימטע אינטעגראַלן קענען אויך ווערן גענוצט צו רעכענען דעם באַנד פון אָביעקטן וואָס רעזולטירן פון דער ראָטאַציע פון ​​אַ קורווע אַרום די x-אַקס אָדער y-אַקס. אָפט גענוצטע מעטאָדן זענען די דיסק מעטאָדע און די צילינדער-שאָל מעטאָדע.

דיסק מעטאָד

לאָמיר זאָגן מיר האָבן אַ קורווע (y = f(x)) און מיר ווילן דרייען די קורווע אַרום דער x-אַקס פֿון (x = a) ביז (x = b). דער באַנד פֿון דעם רעזולטאַט קען אויסגערעכנט ווערן מיט אַ באַשטימטן אינטעגראַל ווי פֿאָלגט:

[V = π_{a}^{b} [f(x)]^2 , dx]

רער הויט מעטאָד

אויב מיר ווילן דרייען די קורווע \(x = g(y) \) אַרום די y-אַקס פֿון \(y = c \) צו \(y = d \), קען מען אויסרעכענען איר באַנד מיט:

\[ V = 2\pi \int_{c}^{ד} י \, ג(י) \, די \]

אַנדערע אַפּליקאַציעס

אין פיזיק, ווערן באַשטימטע אינטעגראַלן אָפט גענוצט צו רעכענען פֿאַרשידענע קוואַנטיטעטן, ווי צום ביישפּיל די אַרבעט געטאָן דורך אַ קראַפט \(F(x) \) איבער אַ דיסטאַנץ \(x \), וואָס ווערט אויסגעדריקט ווי:

[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]

אין עקאנאמיק, קען מען ניצן אינטעגראלן צו רעכענען די גאנצע איינקונפט אדער קאסטן איבער א געגעבענער צייט-פעריאד, באזירט אויף א פונקציע פון ​​איינקונפט אדער קאסטן פער איינהייט צייט.

נומערישע ווערטן: אַפּראָקסימאַציע מעטאָד

ווען די פונקציע \(f(x) \) איז קאמפלעקס אדער האט נישט קיין גענויע אנטי-דעריוואטיוו, ווערן נומערישע מעטאדן גענוצט צו רעכענען דעם אינטעגראל. געוויינלעכע מעטאדן וואס ווערן אפט גענוצט זענען:

– רימאַן מעטאָד: אַפּראָקסימירט דעם אינטעגראַל דורך סאַמינג די שטחים פון די רעכטעקן אונטער דער קורווע.
– טראַפּעזאָידאַל מעטאָד: אַפּראָקסימירט דעם אינטעגראַל דורך צולייגן די טראַפּעזאָידאַלע שטחים אונטער דער קורווע.
– סימפסאן'ס מעטאד: ניצט א קוואדראטישן פאלינאם צו אפראקסעמאטירן דעם שטח אונטער דער קורווע.

למשל, די טראַפּעזאָידאַלע מעטאָדע פֿאַר אויסרעכענען \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \) מיט \(n \) דיוויזשאַנז איז:

[\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{ba}{2n} \left[f(x_0) + 2 \sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(x_n)\right] \]

וואו \(x_0, x_1, …, x_n \) זענען די טייל-פונקטן פון דעם אינטערוואַל \([a, b]\).

קעסימפּולאַן

דער באַשטימטער אינטעגראל איז אַ יסודותדיקער באַגריף אין קאַלקולוס מיט ברייטע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער. פֿון רעכענען דעם שטח אונטער אַ קורווע ביזן באַנד פֿון דריי-שטאָפֿן און אַנאַליזירן פֿיזישע און עקאָנאָמישע קוואַנטיטעטן, איז דער באַשטימטער אינטעגראל אַ שטאַרק געצייַג אין אַ ברייטן קייט פֿון קאַלקולאַציעס. ניצנדיק אַנאַליטישע און נומערישע מעטאָדן, קענען מיר אָפּשאַצן באַשטימטע אינטעגראַלן צו באַקומען גענויע און אָנווענדלעכע רעזולטאַטן אין רעאַלע סיטואַציעס. אַ גרינטלעך פֿאַרשטאַנד פֿון באַשטימטע אינטעגראַלן עפֿנט די טיר צו סאָלווען אַ ברייטן פֿאַרשיידנקייט פֿון קאָמפּלעקסע פּראָבלעמען וואָס אַרייַננעמען פֿונקציעס און שטחים.