בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע פֿון אינטעגראַלע אַפּליקאַציעס
אינטעגראציע איז א יסודות'דיגער קאנצעפט אין קאלקולוס וואס האט אסאך אנווענדונגען אין פארשידענע פעלדער פון וויסנשאפט, ווי פיזיק, עקאנאמיק, ביאלאגיע, און אינזשעניריע. אינטעגראלן ווערן גענוצט צו רעכענען די שטח אונטער א קורווע, דעם פארנעם פון א פעסטן מאטעריאל, ארבעט, דרוק, און נאך. אין דעם ארטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע ביישפילן פון אינטעגראל אנווענדונגען, נאכגעפאלגט דורך דעטאלירטע דערקלערונגען ווי אזוי זיי צו לייזן.
1. באַשטימען די שטח אונטער דער קורווע
איינע פון די מערסט געוויינטלעכע אנווענדונגען פון אינטעגראלן איז צו רעכענען די שטח אונטער דער קורווע פון א פונקציע איבער א געגעבענעם אינטערוואַל. לאָמיר זאָגן מיר ווילן געפֿינען די שטח פון דער געגנט באַגרענעצט דורך דער קורווע \(y = x^2\) און די \(x\) אַקס פון \(x = 0\) ביז \(x = 2\).
פראבלעמען ביישפיל:
באַשטימט דעם שטח אונטער דער קורווע _(y = x^2_) פֿון _(x = 0_) ביז _(x = 2_).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
כדי צו געפינען דעם שטח אונטער דער קורווע \(y = x^2\) פון \(x = 0\) ביז \(x = 2\), דארפן מיר אויסרעכענען דעם באשטימטן אינטעגראל פון דער פונקציע:
[\int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
שריט 1: באַשטימען דעם אינטעגראַל פון \(x^2\).
באַמערק אז דער אינטעגראל פון \(x^2\) איז:
[\int x^2\, dx = \frac{x^3}{3} + C\]
שריט 2: אנװענדן דעם אינטעגראלן לימיט \(0\) צו \(2\).
[\int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]
שריט 3: רעכענען אויס דעם גרענעץ ווערט.
\[ \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
אַלזאָ, די שטח אונטער דער קורווע _(y = x^2)_ פֿון _(x = 0) ביז _(x = 2)_ איז _( \frac{8}{3}_) שטח־איינהייטן.
2. אויסרעכענען דעם פארנעם פון דרייענדיקע אביעקטן
אינטעגראלן ווערן אויך גענוצט צו רעכענען דעם פארנעם פון דריי-שטאף-שטאפן. אויב א געגנט ווערט ראָטירט אַרום דער \(x\) אַקס, קען מען געפֿינען דעם פארנעם פונעם אביעקט מיטן דיסק מעטאָד אדער מיטן רינג מעטאָד.
פראבלעמען ביישפיל:
רעכנט אויס דעם וואָלומען פֿון דעם אָביעקט וואָס ווערט פּראָדוצירט ווען דער ראַיאָן באַגרענעצט דורך דער קורווע \(y = \sqrt{x}\) און די ליניע \(x = 4\) ווערט ראָטירט אַרום דער \(x\) אַקס.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
כדי צו געפינען דעם פארנעם פון א דריי-שטאף, קענען מיר ניצן די דיסק מעטאד. דער פארנעם \(V\) פון דעם רעזולטירנדיקן פעסטן שטאף קען אויסגעדריקט ווערן ווי:
[V = π_{a}^{b} [f(x)]^2 , dx]
וואו (f(x) = x), a = 0), און b = 4).
שריט 1: שאַפֿן דעם וואָלומען אינטעגראַל.
[V = π_{0}^{4} (τ}², dx]
שריט 2: פאַרפּשוטערן די פונקציע אין דעם אינטעגראַל.
[V = π_{0}^{4}x, dx]
שריט 3: באַשטימען דעם אינטעגראַל פון \(x\).
[\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]
שריט 4: אנװענדן די גרענעצן \(0\) ביז \(4\).
[V = π[x²/²]_0⁻⁴]
שריט 5: רעכענען אויס דעם גרענעץ ווערט.
[\left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{4} = \π \left( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right) = \π \left( \frac{16}{2} \right) = 8\π \]
אַלזאָ, דער באַנד פֿון דעם רעזולטאַטדיקן אָביעקט איז 8 פּי.
3. אויסרעכענען די ארבעט געטאן דורך א וועריאַבלע קראַפט
אינטעגראלע אנווענדונגען געפינען זיך אויך אין פיזיק, איינע פון וועלכע איז צו רעכענען די ארבעט געטאן דורך א וועריאַבלע קראַפט ווען אן אביעקט באוועגט זיך פון איין פונקט צום אנדערן.
פראבלעמען ביישפיל:
א קראַפט \(F(x) = 3x^2\) ניוטאָן ווירקט אויף אַ פּאַרטיקל וואָס באַוועגט זיך פֿון \(x = 1\) מעטער צו \(x = 3\) מעטער. רעכנט אויס די אַרבעט וואָס די קראַפט טוט.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
די אַרבעט \(W\) געטאָן דורך דער קראַפט \(F(x)\) קען מען געפֿינען דורך אויסרעכענען דעם אינטעגראַל פֿון \(F(x)\) איבער דער פֿאַרשייבונג פֿון \(a\) צו \(b\):
[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
וואו (a = 1), (b = 3), און (F(x) = 3x^2).
שריט 1: שאַפֿן דעם אינטעגראַל פֿון דער אַרבעט.
\[ W = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \]
שריט 2: באַשטימען דעם אינטעגראַל פון \(3x^2\).
[\int 3x^2\, dx = 3\left(\frac{x^3}{3}\right) = x^3 + C\]
שריט 3: אנװענדן די גרענעצן \(1\) ביז \(3\).
\[ W = \left[ x^3 \right]_{1}^{3} \]
שריט 4: רעכענען אויס דעם גרענעץ ווערט.
\[ W = \left. x^3 \right|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
אַזוי, די אַרבעט געטאָן דורך דער קראַפט איז 26 דזשולס.
4. באַשטימען הידראָסטאַטיש דרוק
אין פיזיק, ווערן אינטעגראלן אויך גענוצט צו רעכענען דעם הידראָסטאַטישן דרוק אויף אַן אויבערפלאַך וואָס איז איינגעטובלט אין אַ פליסיקייט.
פראבלעמען ביישפיל:
א ווערטיקאַלע פּלאַטע 6 מעטער הויך און 4 מעטער ברייט איז איינגעטובלט אין וואַסער מיט איר שפּיץ העכער דער וואַסער ייבערפלאַך. רעכנט אויס די גאַנצע קראַפט פון וואַסער דרוק אויף דער פּלאַטע.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דער דרוק אין אַ טיפקייט \(h\) אין וואַסער ווערט געגעבן דורך \(P = \rho gh\), וואו \(\rho\) איז די געדיכטקייט פון וואַסער (ארום 1000 \text{ ק"ג/מ^3\)) און \(g\) איז די אַקסעלעראַציע רעכט צו גראַוויטאַציע (ארום 9.8 \text{ מ/ס^2\)).
פֿאַר דער גאַנצער דרוק-קראַפט, מוזן מיר אינטעגרירן דעם דרוק איבער דער ווערטיקאַלער שטח פֿון דער פּלאַטע.
שריט 1: באַשטימען די דרוק פונקציע.
\[P(y) = \rho gy \]
שריט 2: די גאַנצע קראַפט \(F\) איז דער אינטעגראַל פֿון דרוק מאָלן דעם עלעמענטאַרן שטח \(dA\) פֿון \(y = 0\) ביז \(y = 6\).
\[ F = \int_{0}^{6} ≤ gy \cdot 4 \, dy \]
שריט 3: פאַרפּשוטערן די קאָנסטאַנטן.
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} י \, די \]
שריט 4: באַשטימען דעם אינטעגראַל פון \(y\).
\[ \ינט י \, די = \frac{י^2}{2} \]
שריט 5: אנװענדן די גרענעצן \(0\) ביז \(6\).
[F = 4 ⋅ 1000 ⋅ 9.8 [Ω²/2]_0^6]
שריט 6: רעכענען אויס דעם גרענעץ ווערט.
\[ F = 4 ⋅ 1000 ⋅ 9.8 ⋅ {6^2}{2} = 4 ⋅ 1000 ⋅ 9.8 ⋅ 18 = 705600 \]
אַזוי, די גאַנצע קראַפט פון וואַסער דרוק אויף דער פּלאַטע איז 705600 ניוטאָן.
קעסימפּולאַן
די נוצן פון אינטעגראלן אין פארשידענע אנווענדונגען גיט א ריזיקע אנאליטישע מאכט פארן אויסרעכענען קאמפליצירטע פיזישע קוואנטיטעטן. אין דעם ארטיקל האבן מיר דיסקוטירט ווי אינטעגראלן ווערן גענוצט צו אויסרעכענען די שטח אונטער א קורווע, דעם פארנעם פון א דריי-פאכיגן פעסטן מאַטעריאַל, די ארבעט געטאן דורך א וועריאַבלע קראַפט, און הידראָסטאַטישן דרוק. מיט א גוטן פארשטאנד פון אינטעגראציע טעכניקן, קענען מיר לייזן א פארשיידנקייט פון פראקטישע פראבלעמען וואס שטייען אויף אין וויסנשאפט און אינזשעניריע.
