בייַשפּיל פֿון פּראָבלעמען דיסקוטירן פּאָזיציע וועקטאָרן
וועקטאָרן זענען אַ יסודותדיקער באַגריף אין מאַטעמאַטיק און פיזיק, וואָס רעפּרעזענטירן קוואַנטיטעטן מיט ביידע ריכטונג און מאַגניטוד. אין פֿאַרשידענע אַפּליקאַציעס, ווערן וועקטאָרן אָפט געניצט צו באַשרײַבן פּאָזיציע, גיכקייט, קראַפט און פילע אַנדערע פּאַראַמעטערס. צווישן די פֿאַרשידענע טיפּן וועקטאָרן, שפּילן פּאָזיציע וועקטאָרן אַ וויכטיקע ראָלע אין מאַפּינג די אָרט פֿון אַ פּונקט אין פּלאַץ.
דעפֿיניציע פֿון פּאָזיציע וועקטאָר
א פאזיציע וועקטאָר איז א וועקטאָר וואָס באַשרײַבט די לאָקאַציע פֿון אַ פּונקט אין באַצוג צו דעם אָנהייב אין אַ קאָאָרדינאַט סיסטעם. בכלל, ווערט אַ פאזיציע וועקטאָר געשריבן אין קאַרטעזישער קאָאָרדינאַט פֿאָרעם ווי:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{ק} \]
דאָ, r איז דער פּאָזיציע וועקטאָר, x, y און z זענען זיינע קאָמפּאָנענטן אויף די x-, y- און z-אַקסן, בהתאמה, בשעת i, j און k זענען איינהייט וועקטאָרן פּאַראַלעל צו די קאָאָרדינאַט אַקסעסן, בהתאמה. אין צוויי-דימענסיאָנאַלן פּלאַץ, עקזיסטירט דער z-קאָמפּאָנענט בכלל נישט, אַזוי ווערט דער פּאָזיציע וועקטאָר:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
פּאָזיציע וועקטאָר אַפּלאַקיישאַנז
למשל, אין פיזיק, שפּילן פּאָזיציע וועקטאָרן אַ קריטישע ראָלע אין באַשרײַבן די באַוועגונג פון אָביעקטן. די פּאָזיציע פון אַן אָביעקט אין באַצוג צו דעם אָנהייב (רעפערענץ פונקט) קען רעפּרעזענטירט ווערן דורך אַ פּאָזיציע וועקטאָר. דערצו, אין מעכאַנישער אינזשעניריע, באַרעכענונגען פון כוחות און מאָמענטן אָפט אַרייַננעמען די נוצן פון פּאָזיציע וועקטאָרן.
בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע פֿון פּאָזיציע וועקטאָרן
פראגע 1
לאָמיר זאָגן אַז עס זענען דאָ צוויי פּונקטן אין אַ דריי-דימענסיאָנאַלן פּלאַץ, פּונקט A מיט קאָאָרדינאַטן (1, 2, 3) און פּונקט B מיט קאָאָרדינאַטן (4, 0, -2)). באַשטימט די פּאָזיציע-וועקטאָרן פון פּונקטן A און B. דערצו, רעכנט אויס דעם וועקטאָר וואָס פֿאַרבינדט פּונקט A מיט פּונקט B.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פאזיציע וועקטאָר פֿאַר פּונקט A:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{ק} \]
פאזיציע וועקטאָר פֿאַר פּונקט B:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{ק} \]
ווייטער, צו געפינען דעם וועקטאָר וואָס פֿאַרבינדט פּונקט A מיט פּונקט B (גערופֿן \(\mathbf{AB}\)), דאַרפֿן מיר אָפּרעכענען דעם פּאָזיציע וועקטאָר פֿון A פֿונעם פּאָזיציע וועקטאָר פֿון B:
[\mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
אַלזאָ, דורך פֿאַרבײַטן די צוויי פּאָזיציע וועקטאָרן פֿון אויבן:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - 2\mathbf{ק}) - (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{ק}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{ק} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{ק} \]
אַלזאָ, דער וועקטאָר וואָס פֿאַרבינדט פּונקט A מיט B איז (3i – 2j – 5k).
פראגע 2
אויב אַ פּונקט P איז אויף \((2, 3)\) אין דער 2D פלאַך, געפינט די לענג (נאָרם) פון דעם פּאָזיציע וועקטאָר \(\mathbf{r_P}\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פאזיציע וועקטאָר פון פונקט P:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
די לענג פון דעם פאזיציע וועקטאָר \(\mathbf{r_P}\) קען אויסגערעכנט ווערן ניצנדיק די וועקטאָר נאָרם (אָדער לענג) פאָרמולע:
\[ \| \מאַטהבף{ר_פּ} \| = \סקרט{קס^2 + י^2} \]
שטעלט איין די ווערטן פון \(x\) און \(y\):
\[ \| \מאַטהבף{ר_פּ} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \מאַטהבף{ר_פּ} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \מאַטהבף{ר_פּ} \| = \sqrt{13} \]
אַלזאָ, די לענג פֿון דעם פּאָזיציע וועקטאָר ≥ ≤ ≤ איז ≥ 13.
פראגע 3
לאָמיר זאָגן אַז אַ פּונקט Q ליגט ביי \( (5, -4, 2) \). געפינט דעם ווינקל צווישן דעם פּאָזיציע וועקטאָר \(\mathbf{r_Q} \) און דער \(x \) אַקס.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פאזיציע וועקטאָר פון פונקט Q:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{ק} \]
כדי צו געפינען דעם ווינקל צווישן דעם וועקטאָר \(\mathbf{r_Q}\) און דער \(x\) אַקס, קענען מיר נוצן דעם באַגריף פֿון דעם פּונקט־פּראָדוקט. ערשטנס, באַשטימען מיר דעם פּונקט־פּראָדוקט צווישן \(\mathbf{r_Q}\) און \(\mathbf{i}\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{ק} \cdot \mathbf{i} \]
זינט Σ(i) Σ = 1), Σ(j) Σ = 0), און Σ(k) Σ = 0), דעמאָלט:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
נאָרמע פון \(\mathbf{r_Q}\):
\[ \| \מאטהבף{ר_ק} \| = \סקרט{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \מאטהבף{ר_ק} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \מאטהבף{ר_ק} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \מאטהבף{ר_ק} \| = 3\sqrt{5} \]
די נאָרם פון \(\mathbf{i}\) איז 1, ווײַל \(\mathbf{i}\) איז אַן איינהייט וועקטאָר.
ניצן די פונקט פּראָדוקט פאָרמולע צו געפֿינען דעם ווינקל \(\theta\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \מאטהבף{ר_ק} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
[קאָס\טהעטאַ = \frac{5}{3\sqrt{5}}]
[קאָס\טהעטאַ = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}]
[קאָס\טהעטאַ = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
[קאָס\טהעטאַ = \frac{\sqrt{5}}{3 \]
אַזוי דער ווינקל \(\theta\) צווישן דעם פּאָזיציע וועקטאָר \(\mathbf{r_Q}\) און דער \(x\) אַקס איז:
[טהעטאַ = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
קעסימפּולאַן
פאזיציע וועקטאָרן שפּילן אַ קריטישע ראָלע אין וויסנשאַפֿט און אינזשעניריע, ספּעציעל אין קאַרטירן די פאזיציע פון אָביעקטן אין קאָאָרדינאַט פּלאַץ. די ביישפילן אויבן ווייַזן ווי צו רעכענען פאזיציע וועקטאָרן, זייערע לענג, און די ווינקלען צווישן זיי און די קאָאָרדינאַט אַקסעס. פֿאַרשטיין די יסודותדיקע קאָנצעפּטן איז אַנשאַצלעך אין סאָלווינג פאַרשידענע פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט פּלאַץ און קאָאָרדינאַטן אין מאַטעמאַטיק און פיזיק.
