בייַשפּיל פֿון פּראָבלעמען וואָס דיסקוטירן אינווערסע וועקטאָרן
א וועקטאָר איז אַ מאַטעמאַטישער אָביעקט וואָס האָט ביידע גרייס און ריכטונג. אין דער שטודיע פון וועקטאָרן, טרעפן מיר אָפט וועקטאָרן מיט ספּעציפֿישע אייגנשאַפֿטן. איין יסודותדיקער באַגריף אין וועקטאָרן איז דער אומגעקערטער וועקטאָר, אדער נעגאַטיווער וועקטאָר. דער אַרטיקל וועט דעקן ביישפילן און אַ דיסקוסיע פון אומגעקערטע וועקטאָרן.
פֿאַרשטיין אינווערסע וועקטאָרן
דער אינווערסער וועקטאָר, אָפט גערופן אַ נעגאַטיווער וועקטאָר, איז אַ וועקטאָר וואָס האט די זעלבע מאַגניטוד אָבער פאַרקערט ריכטונג ווי דער אָריגינעלער וועקטאָר. אויב אַ וועקטאָר ווערט באַצייכנט מיט \(\vec{a}\), דאַן איז זיין אינווערסער וועקטאָר \(-\vec{a}\). מאַטעמאַטיש, אויב \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\), דאַן \(-\vec{a} = (-a_1, -a_2, -a_3)\).
בייַשפּיל קשיא 1
געגעבן דעם וועקטאָר _(\vec{a} = (3, 4, -2)_). באַשטימט דעם אומגעקערטן וועקטאָר פֿון _(\vec{a}_).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
כדי צו באַשטימען דעם אומגעקערטן וועקטאָר פֿון \(\vec{a}\), דאַרפֿן מיר פשוט ענדערן יעדן פֿון זיינע וועקטאָר קאָמפּאָנענטן צו נעגאַטיוו:
\[
-\vec{a} = (-3, -4, 2)
\]
אַלזאָ, דער אומגעקערטער וועקטאָר פֿון \(\vec{a} = (3, 4, -2)\) איז \(-\vec{a} = (-3, -4, 2)\).
בייַשפּיל קשיא 2
לאָמיר זאָגן אַז דער וועקטאָר _(\vec{b} = (7, -5, 0)_. געפֿינט דעם אומגעקערטן וועקטאָר פֿון _(\vec{b}_) און באַשטעטיקט אַז _(\vec{b} + (-\vec{b}) = _vec{0}_.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
ערשטנס, דעפינירן מיר דעם אומגעקערטן וועקטאָר פון \(\vec{b}\):
\[
-\vec{b} = (-7, 5, 0)
\]
ווייטער, באַשטעטיקן מיר אַז די אַדיציע פֿון דעם וועקטאָר \(\vec{b}\) און זײַן אומגעקערטן וועקטאָר רעזולטירט אין דעם נול וועקטאָר:
\[
\vec{ב} + (-\וועק{ב}) = (7, -5, 0) + (-7, 5, 0)
\]
מיר לייגן צוזאם די קאָמפּאָנענטן פון דעם וועקטאָר:
\[
(7 – 7, -5 + 5, 0 + 0) = (0, 0, 0)
\]
אַלזאָ, \(\vec{b} + (-\vec{b}) = \vec{0}\), איז באַוויזן אַז דער רעזולטאַט פֿון דער אַדיציע פֿון דעם וועקטאָר \(\vec{b}\) און זײַן אומגעקערטן וועקטאָר איז דער נול וועקטאָר.
בייַשפּיל קשיא 3
געגעבן די וועקטאָרן \(\vec{u} = (2, -1)\) און \(\vec{v} = (-2, 1)\). איז \(\vec{u}\) דער אינווערסער וועקטאָר פון \(\vec{v}\)?
פֿאַרעפֿנטלעכט:
כדי צו באַשטימען צי \(\vec{u}\) און \(\vec{v}\) זענען אינווערסע וועקטאָרן, דאַרפן מיר קאָנטראָלירן צי \(\vec{v} = -\vec{u}\).
רעכנט אויס \(-\vec{u}\):
\[
-\vec{u} = (-2, 1)
\]
עס שטעלט זיך ארויס אז \(-\vec{u} = \vec{v}\), דאס מיינט אז דער וועקטאָר \(\vec{u}\) איז טאקע דער אומגעקערטער וועקטאָר פונעם וועקטאָר \(\vec{v}\).
בייַשפּיל קשיא 4
אויב דער וועקטאָר \(\vec{w}\) איז באַקאַנט צו האָבן אַ מאַגניטוד פון 5 און אַ ריכטונג קעגן דעם וועקטאָר \(\vec{p} = (4, 3)\), באַשטימען \(\vec{w}\) אין קאָמפּאָנענט פאָרעם.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
ערשטנס, געפינען מיר די גרייס פון דעם וועקטאָר \(\vec{p}\):
\[
|\vec{p}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
זינט \(\vec{w}\) האט די זעלבע מאַגניטוד ווי \(\vec{p}\) אבער די פארקערטע ריכטונג, דעמאלט:
\[
\vec{w} = -\vec{p} = (-4, -3)
\]
אַלזאָ, דער וועקטאָר \(\vec{w}\) אין קאָמפּאָנענט פֿאָרעם איז \(\vec{w} = (-4, -3)\).
בייַשפּיל קשיא 5
געגעבן פונקט A(2, 3) און פונקט B(4, 7). באַשטימט דעם פּאָזיציע וועקטאָר פֿון פונקט A צו פונקט B און דעם וועקטאָר וואָס איז די פאַרקערטע פֿון יענעם וועקטאָר.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פאזיציע וועקטאָר פֿון פּונקט A צו פּונקט B:
\[
AB = (B_x – A_x, B_y – A_y) = (4 – 2, 7 – 3) = (2, 4)
\]
דער אומגעקערטער וועקטאָר פֿון \(\vec{AB}\):
\[
-\vec{AB} = (-2, -4)
\]
אַלזאָ, דער וועקטאָר וואָס איז פאַרקערט צום פּאָזיציע וועקטאָר AB = (2, 4) איז - AB = (-2, -4)).
בייַשפּיל קשיא 6
געגעבן אַ וועקטאָר \(\vec{m} = (x, y)\) און דער אינווערסער וועקטאָר פֿון \(\vec{m}\) איז \( (-5, 12)\). באַשטימט די ווערטן פֿון x און y.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
דער אומגעקערטער וועקטאָר פֿון \(\vec{m}\) איז \( (-x, -y)\), און לויטן פּראָבלעם, \((-x, -y) = (-5, 12)\).
דורך צופּאַסן די וועקטאָר קאָמפּאָנענטן, באַקומען מיר:
\[
-x = -5 \implices x = 5
\]
\[
-y = 12 \implices y = -12
\]
אַזוי, דער ווערט פון \(x\) איז 5 און דער ווערט פון \(y\) איז -12.
קעסימפּולאַן
אינווערסע וועקטאָרן זענען וועקטאָרן מיט דער זעלבער מאַגניטוד אָבער אין דער פאַרקערטער ריכטונג. דורך פֿאַרשטיין דעם באַגריף פֿון אינווערסע וועקטאָרן, קענען מיר סאָלווען פֿאַרשידענע פּראָבלעמען פֿאַרבונדן מיט וועקטאָרן, ווי באַשטימען דעם נעגאַטיוו פֿון אַ וועקטאָר, באַשטעטיקן די אַדיציע פֿון וועקטאָרן צו נול, און אַזוי ווייטער. די דיסקוסיע פֿון די בייַשפּיל פּראָבלעמען אויבן ווערט ערוואַרטעט צו פֿאַרגרעסערן אונדזער וויסן און פֿאַרשטאַנד פֿון אַרבעטן מיט אינווערסע וועקטאָרן.
