טריגאָנאָמעטריע בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
טריגאָנאָמעטריע איז אַ צווייַג פֿון מאַטעמאַטיק וואָס שטודירט די באַציִונג צווישן ווינקלען און זײַט־לענג אין טריאַנגלען. פֿאַרשטיין די גרונט־קאָנצעפּטן פֿון טריגאָנאָמעטריע איז קריטיש אין אַ פֿאַרשיידנקייט פֿון אַפּליקאַציעס, פֿון פֿיזיק און אינזשעניריע ביז אַסטראָנאָמיע און געאָגראַפֿיע. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דערקלערן עטלעכע בײַשפּיל־פּראָבלעמען און פֿולשטענדיקע דערקלערונגען צו העלפֿן פֿאַרשטיין.
בייַשפּיל קשיא 1: קאַלקולירן די זייטן פון אַ דרייַעק ניצן די סינוס מעטאָד
פראגע:
געגעבן אַ דרייַעק ABC, מיט ווינקל A = 30°, ווינקל B = 45°, און זײַט b = 10 ס״מ. רעכנט אויס די לענג פֿון זײַט a.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
ניצט דעם געזעץ פון סינוסן:
[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]
אַרייַן באַקאַנטע ווערטן:
[\frac{a}{\sin 30°} = \frac{10}{\sin 45°} \]
מיר ווייסן אַז:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
\[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
איצט, שטעלט אריין די ווערטן אין דער גלייכונג:
[\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
פאַרפּשוטער די גלייכונג:
[2a = \frac{10 ⋅ 2}{\sqrt{2}} \]
[2a = \frac{20}{\sqrt{2}} \]
ראַציאָנאַליזירן דעם נענער:
[2a = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{2} \]
2a = 10²
\[ a = 5\sqrt{2} \]
אַזוי, די לענג פֿון זײַט a איז 5 ס״מ.
בייַשפּיל קשיא 2: קאַלקולירן ווינקלען ניצן די קאָסינוס מעטאָד
פראגע:
א דרייעק האט זייטן a = 7 ס״מ, b = 10 ס״מ, און c = 5 ס״מ. באַשטימט די גרייס פֿון ווינקל C.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
ניצט דעם געזעץ פון קאסינוסן:
[c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C]
אַרייַן באַקאַנטע ווערטן:
[5^2 = 7^2 + 10^2 – 2 ⋅ 7 ⋅ 10 ⋅ קאָס C]
פאַרפּשוטער די גלייכונג:
\[ 25 = 49 + 100 - 140 \קאָס C \]
\[ 25 = 149 - 140 \קאָס C \]
באַוועגן 149 צו דער לינקער זייט:
\[ 25 – 149 = -140 \קאָס C \]
[-124 = -140 \cos C \]
[קאָס C = \frac{124}{140} \]
[קאָס C = \frac{62}{70} \]
[קאָס C = \frac{31}{35} \]
ניצט אַ קאַלקולאַטאָר צו געפֿינען \( \cos^{-1} \) (איבערגעקערטע קאָסינוס):
[C אַפּראָקס. קאָס^{-1}(³31}{35)]
\[C \אומגעפער 25.84° \]
אַלזאָ, די גרייס פֿון ווינקל C איז אַרום 25.84°.
בייַשפּיל קשיא 3: קאַלקולירן די הייך און שטח פון אַ דרייַעק
פראגע:
א דרייעק האט צוויי זייטן מיט לענג a = 6 ס״מ און b = 8 ס״מ מיט א ווינקל צווישן זיי, θ = 60°. רעכנט אויס די הייך און שטח פון דעם דרייעק.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
1. אויסרעכענען די שטח פון א דרייעק:
ניצט די פאָרמולע פֿאַר די שטח פֿון אַ דרייַעק:
שטח = 1/2 ab sin theta
אַרייַן די באַקאַנטע ווערטן:
[שטח = \frac{1}{2} 6 8 \sin 60°]
מיר ווייסן אַז:
\[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
אַזוי:
[שטח = \frac{1}{2} 6 \cdot 8 \frac{\sqrt{3}}{2}]
[שטח = \frac{1}{2} 6 \cdot 8 \frac{\sqrt{3}}{2}]
שטח = 24 µsq ³/ ...
שטח = 12 קוואַדראַט מעטער
אַזוי, די שטח פֿון דעם דרייַעק איז 12 קוואַדראַט סענטימעטער.
2. אויסרעכענען די הייך פון א דרייעק פון באזע a:
צו רעכענען די הייך פון א דרייעק, באצייכנט די הייך אלס h און ניצט די שטח פארמל:
\[ \text{שטח} = \frac{1}{2} \times a \times h \]
[12 קוואדראט־צייט (3) = 1/2 × 6 שעה]
\[ 12\sqrt{3} = 3h \]
\[ ה = \frac{12\sqrt{3}}{3} \]
\[ ה = 4\sqrt{3} \]
אַזוי, די הייך פֿון דעם דרייַעק איז 4 ס״מ.
בייַשפּיל קשיא 4: באַשטימען די זייטן פון אַ רעכטן דרייַעק
פראגע:
אין אַ רעכטן דרייַעק, מיט ווינקל _(\theta\) = 30° און די פּאַראַלעלע זײַט פֿון ווינקל _(\theta\) איז 5 ס״מ, באַשטימט די לענג פֿון דער היפּאָטענוז.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
ניצט די טריגאָנאָמעטרישע פאַרהעלטענישן פֿאַר אַ 30° ווינקל אין אַ רעכטן דרייַעק:
\[ \sin \theta = \frac{\text{front}}{\text{hypotenuse}} \]
\[ \sin 30° = \frac{obverse}{hypotenuse} = \frac{5}{\text{hypotenuse}} \]
מיר ווייסן אַז:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
אַזוי:
\[ \frac{1}{2} = \frac{5}{\text{היפּאָטענוזע}} \]
\[ \text{היפּאָטענוזע} = 10 \]
אַזוי, די לענג פון די היפּאָטענוז איז 10 ס״מ.
בייַשפּיל קשיא 5: רעכענען ווינקלען מיט טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס
פראגע:
אויב ∫tan theta = ∫frac{3}{4}), רעכנט אויס די גרייס פונעם ווינקל ∫heta.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
ניצן די אינווערסע טאַנגענט פאָרמולע:
[טהעטאַ = טאַן^{-1} (פֿראַקציע{3}{4} רעכטס)]
מיט דער הילף פון אַ קאַלקולאַטאָר:
[ טהעטאַ \אַפּפּראָקס 36.87° \]
אַלזאָ, די גרייס פֿון דעם ווינקל _(\theta\) איז אַרום 36.87°.
קעסימפּולאַן
טריגאָנאָמעטריע איז אַ ברייטער מאַטעמאַטישער באַגריף מיט אַ ברייטער אָנווענדונג אין פֿאַרשידענע פֿעלדער. פֿאַרשטיין ווי צו נוצן די געזעצן פֿון סינוסן, קאָסינוסן און אַנדערע גרונטלעכע פֿונקציעס דערמעגלעכט אונדז צו סאָלווען אַ פֿאַרשיידנקייט פֿון פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט טרייענגלעך און ווינקלען. דורך די אויבן דערמאָנטע ביישפּילן, האָפֿט מען אַז לייענער וועלן באַקומען אַ טיפֿערן פֿאַרשטאַנד און קענען דאָס אָנווענדן אין פֿאַרשידענע סיטואַציעס וואָס פֿאָדערן אַ פֿאַרשטאַנד פֿון טריגאָנאָמעטריע.
