בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן טריגאָנאָמעטרישע פאַרהעלטענישן

בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן טריגאָנאָמעטרישע פאַרהעלטענישן

טריגאָנאָמעטריע איז אַ צווייַג פֿון מאַטעמאַטיק וואָס שטודירט די באַציִונגען צווישן די זײַטן און ווינקלען פֿון אַ דרייַעק. איין וויכטיקער אַספּעקט פֿון טריגאָנאָמעטריע איז פֿאַרשטיין טריגאָנאָמעטרישע פּראָפּאָרציעס, אַרײַנגערעכנט סינוס (sin), קאָסינוס (cos), און טאַנגענט (tan). דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן עטלעכע בײַשפּילן פֿון טריגאָנאָמעטרישע פּראָפּאָרציעס און זייערע דעטאַלירטע דערקלערונגען צו פֿאַרלייכטערן אַ גרינטלעכן פֿאַרשטאַנד פֿון גרונטלעכע טריגאָנאָמעטרישע קאָנצעפּטן.

בייַשפּיל קשיא 1: קאַלקולירן די ווערטן פון Sin, Cos, און Tan

פראגע:
מען בעט א סטודענט צו געפינען די ווערטן פון sin, cos, און tan פון דעם ווינקל _(\heta\) אין א רעכטן דרייעק, אויב די לענג פון דער קעגנגעזעצטער זייט (דער קעגנגעזעצטער ווינקל _(\heta\)) איז 3 ס״מ, די לענג פון דער שכנותדיקער זייט (באַזע) איז 4 ס״מ, און די לענג פון דער היפּאָטענוזע (היפּאָטענוזע) איז 5 ס״מ.

פֿאַרעפֿנטלעכט:
דער ערשטער שריט איז צו אידענטיפיצירן יעדע זייט וואָס איז באַטייַטיק צום געגעבענעם ווינקל. ווי באַקאַנט, אין אַ רעכטן דרייַעק מיט זייטן פון אַ קלאַסישן פּיטהאַגאָרעאַן טריפּלע (3, 4, 5), קענען מיר גלייך נוצן גרונטלעכע טריגאָנאָמעטרישע פאָרמולעס.

– סינוס (sin) איז די פּראָפּאָרציע צווישן דער לענג פֿון דער אַנדערער זײַט און דער היפּאָטענוז.
\[
\sin(\theta) = \frac{\text{אויסער זייט}}{\text{היפּאָטענוזע}} = \frac{3}{5}
\]

– קאָסינוס (קאָס) איז די פאַרהעלטעניש צווישן דער לענג פון דער שכנותדיקער זײַט און דער היפּאָטענוז.
\[
\cos(\theta) = \frac{\text{שכנותדיקע זײַט}}{\text{היפּאָטענוזע}} = \frac{4}{5}
\]

– טאַנגענט (טאַן) איז די פּראָפּאָרציע צווישן דער לענג פון דער פראָנט זײַט און דער זײַט.
\[
טאַן(טהעטאַ) = \frac{פֿראָנט זײַט}{\text{זײַט זײַט}} = \frac{3}{4}
\]

אזוי, די ווערטן פון די טריגאָנאָמעטרישע פאַרהעלטענישן פֿאַר דעם ווינקל _(_theta_) זענען:
\[
\sin(\theta) = \frac{3}{5}, \quad \cos(\theta) = \frac{4}{5}, \quad \tan(\theta) = \frac{3}{4}
\]

בייַשפּיל קשיא 2: געפֿינען די זייטן פון אַ דרייַעק ניצן טריגאָנאָמעטרישע פאַרהעלטענישן

פראגע:
געגעבן אַ רעכט-רעכטן דרייַעק מיט ווינקל α = 30°. אויב די לענג פון דער אַנדערער זײַט פון ווינקל α איז 4 ס״מ, באַשטימט די לענג פון דער אַנדערער זײַט.

פֿאַרעפֿנטלעכט:
ניצנדיק די טריגאָנאָמעטרישע פאַרהעלטעניש ווערטן פֿאַר דעם ווינקל 30°C:

– \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{פראָנט זײַט}}{\text{היפּאָטענוזע}} = \frac{4}{\text{היפּאָטענוזע}}
\]
\[
היפּאָטענוז = 4/sin(30°C) = 4/1/2 = 8 ס״מ
\]

– \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\text{שכנותדיקע זייט}}{\text{היפּאָטענוזע}} = \frac{\text{שכנותדיקע זייט}}{8}
\]
\[
זײַט זײַט = 8 \cos(30^\circ) = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ ס״מ}
\]

אזוי, די לענג פון דער אנדערער זייט איז 4 ס״מ און די היפּאָטענוז איז 8 ס״מ.

בייַשפּיל 3: ניצן טריגאָנאָמעטריע אין קאַרטעזישע קאָאָרדינאַטן

פראגע:
באַשטימט די ווערטן פון sin, cos, און tan פֿאַר דעם פּונקט \(P(3, 4) \) אין קאַרטעזישע קאָאָרדינאַטן אויב דער פּונקט פֿאָרמירט אַ ווינקל \(\theta\) מיט דער פּאָזיטיווער x-אַקס אין קוואַדראַנט I.

פֿאַרעפֿנטלעכט:
ערשטנס, רעכנט אויס די דיסטאַנץ פון פּונקט \(P(3, 4)\) פֿון דעם אָנהייב (O), וואָס איז די היפּאָטענוז פֿון דעם געפֿאָרעמטן דרייַעק.

– די היפּאָטענוז (\(r\)) קען אויסגערעכנט ווערן מיטן פּיטהאַגאָראַס טעאָרעם:
\[
ר = \סקרט{3^2 + 4^2} = \סקרט{9 + 16} = \סקרט{25} = 5
\]

דערנאך קען מען אויסרעכענען די טריגאָנאָמעטריע פון ​​פונקט P ווי פאלגנד:

– סינוס (sin) איז די פּראָפּאָרציע צווישן דעם אָרדינאַט (y) און דעם היפּאָטענוז (r):
\[
\sin(\theta) = \frac{y}{r} = \frac{4}{5}
\]

– קאָסינוס (cos) איז די פּראָפּאָרציע צווישן דער אַבסציסאַ (x) און דער היפּאָטענוז (r):
\[
\cos(\theta) = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}
\]

– טאַנגענט (tan) איז די פּראָפּאָרציע צווישן דעם אָרדינאַט (y) און דעם אַבסציסאַ (x):
\[
טאַן(טהעטאַ) = \frac{y}{x} = \frac{4}{3}
\]

אזוי, די טריגאָנאָמעטרישע ווערטן פֿאַר פּונקט P זענען:
\[
\sin(\theta) = \frac{4}{5}, \quad \cos(\theta) = \frac{3}{5}, \quad \tan(\theta) = \frac{4}{3}
\]

בייַשפּיל קשיא 4: ניצן טריגאָנאָמעטרישע אידענטיטעטן

פראגע:
אויב \( \sin(\heta) = \frac{3}{5} \), געפינט דעם ווערט פון \( \cos(\heta) \) ניצנדיק די טריגאָנאָמעטרישע אידענטיטעט \( \sin^2(\heta) + \cos^2(\heta) = 1 \).

פֿאַרעפֿנטלעכט:
מיר הייבן אָן מיט אַ גרונטלעכער טריגאָנאָמעטרישער אידענטיטעט:
\[
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1
\]

געגעבן (sin(θ) = ³/³), דעמאָלט:
\[
\sin^2(\theta) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}
\]
\[
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1
\]
\[
\frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = 1
\]
\[
\cos^2(\theta) = 1 – \frac{9}{25} = \frac{25}{25} – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]
\[
\cos(\theta) = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}
\]

דער ווערט פון \(\cos(\theta)\) קען זיין פאזיטיוו אדער נעגאטיוו לויטן קוואַדראַנט אין וועלכן דער ווינקל \(\theta\) געפינט זיך. אבער פאר דעם פראבלעם אן א קלארע קוואַדראַנט דעפיניציע, ניצן מיר \(\cos(\theta) = \frac{4}{5}\) פאר קוואַדראַנט I אדער \(-\frac{4}{5}\) פאר קוואַדראַנטן II, III, אדער IV.

קעסימפּולאַן

פֿאַרשטיין טריגאָנאָמעטרישע פּראָפּאָרציעס איז קריטיש וויכטיק פֿאַר סאָלווען פֿאַרשידענע פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט ווינקלען און לענג אין דרייַעקן. דורך פּראַקטיצירן סאָלווען פּראָבלעמען ווי די אויבן דערמאָנטע, קענט איר פֿאַרבעסערן אייער פיייקייט צו רעכענען און פֿאַרשטיין די באַציִונגען צווישן זייטן און ווינקלען אין דרייַעקן. טריגאָנאָמעטריע ווערט גענוצט ניט בלויז אין ריינער מאַטעמאַטיק, נאָר אויך אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פֿון וויסנשאַפֿט ווי פֿיזיק, אינזשעניריע און אַסטראָנאָמיע. פֿריילעכע פּראַקטיק!