בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן סיסטעמען פֿון לינעאַרע גלייכונגען און אומגלייכונגען
סיסטעמען פון לינעארע גלייכונגען און אומגלייכונגען זענען א וויכטיגע טעמע אין מאטעמאטיק מיט ברייטע אנווענדונג אין פארשידענע פעלדער, ווי עקאנאמיק, וויסנשאפט און אינזשעניריע. אין דעם ארטיקל וועלן מיר דיסקוטירן ביישפיל פראבלעמען וואס האבן צו טון מיט סיסטעמען פון לינעארע גלייכונגען און אומגלייכונגען און ווי אזוי זיי צו לייזן אין דעטאל.
דעפֿיניציע פֿון אַ סיסטעם פֿון לינעאַרע גלייכונגען
א סיסטעם פון לינעארע גלייכונגען באשטייט פון צוויי אדער מער לינעארע גלייכונגען וואס זענען פארבונדן איינע מיט די אנדערע. ביישפילן זענען:
\[
\begin{ קאַסעס}
2x + 3y = 5
4x – י = 1
\ענד{ קאַסעס}
\]
די ציל פון לייזן דעם סיסטעם איז צו געפֿינען די ווערטן פון \(x\) און \(y\) וואָס באַפרידיקן ביידע גלייכונגען גלײַכצײַטיק.
מעטאָדן פֿאַר סאָלווינג סיסטעמען פון לינעאַר גלייכונגען
עס זענען דא עטלעכע מעטאָדן פֿאַר סאָלווינג סיסטעמען פון לינעאַר גלייכונגען, אַרייַנגערעכנט:
1. סאַבסטיטוציע מעטאָד
2. עלימינאַציע מעטאָד
3. מאַטריץ מעטאָד (אינווערס אָדער גאַוס-דזשאָרדאַן)
בייַשפּיל קשיא 1: סאַבסטיטוציע מעטאָד
לאָמיר סאָלווען די פאלגענדע סיסטעם ניצנדיק די סאַבסטיטוציע מעטאָדע:
\[
\begin{ קאַסעס}
x + 2y = 10
3x – י = 5
\ענד{ קאַסעס}
\]
לאנגקאה-לאנגקאה:
1. אפגעזונדערט איינע פון די וועריאַבלען אין איינע פון די גלייכונגען.
פֿון דער ערשטער גלייכונג, איזאָלירן מיר \(x\):
\[
x = 10 – 2y
\]
2. שטעל אריין דעם געפונענעם אויסדרוק אין דער אנדערער גלייכונג.
שטעל אריין \(x = 10 – 2y\) אין דער צווייטער גלייכונג:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
לייזט אויס פאר \(y\):
\[
30 – 6 יאָר – יאָר = 5
\]
\[
30 – 7 יאר = 5
\]
\[
-7 יאָר = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. ניצט די געפונענע ווערטן צו געפינען אנדערע וועריאַבלען.
שטעלט צוריק אריין \(y = \frac{25}{7}\) אין דעם אויסדרוק פאר \(x\):
\[
x = 10 – 2\לינקס(\frac{25}{7}\רעכטס)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
אַלזאָ, די לייזונגען צו דער סיסטעם זענען \(x = \frac{20}{7} \) און \(y = \frac{25}{7} \).
בייַשפּיל קשיא 2: עלימינאַציע מעטאָד
ווייטער, לאָמיר נוצן די עלימינאַציע מעטאָדע צו סאָלווען די פאלגענדע סיסטעם:
\[
\begin{ קאַסעס}
2x + 3y = 12
4x + 6y = 24
\ענד{ קאַסעס}
\]
אין דעם פאַל, זעען מיר אַז די צווייטע גלייכונג איז אַ קייפל פֿון דער ערשטער גלייכונג. כּדי צו רעדוצירן דעם סיסטעם, קענען מיר פֿאַרמערן די ערשטע גלייכונג מיט 2 און דערנאָך עס אָפּרעכענען פֿון דער צווייטער גלייכונג:
1. טאפלען די ערשטע גלייכונג מיט 2:
\[
2(2x + 3y) = 2 ⋅ 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. אַראָפּרעכענען די געמערטע ערשטע גלייכונג פֿון דער צווייטער גלייכונג:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
קסנומקס = קסנומקס
\]
דאָס גיט \(0 = 0\), וואָס ווײַזט אָן אַז די סיסטעם האָט אומענדלעכע לייזונגען און די גלייכונגען זענען אָפּהענגיק.
בייַשפּיל קשיא 3: לינעאַרע אומגלייַכקייטן
לינעאַרע אומגלייכונגען נאָכפאָלגן ענלעכע פּרינציפּן צו לינעאַרע גלייכונגען, אָבער אַרייַננעמען אומגלייכונג סימנים ווי \(<, ≤, >, ≤\). לאָמיר קוקן אויף אַ פּשוט בייַשפּיל:
\[
\begin{ קאַסעס}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] טריט: 1. מיר ניצן די גראַפֿישע מעטאָדע צו באַשטימען די לייזונג־געגנט פֿון דעם סיסטעם. צייכנט יעדע אומגלייכקייט אין אַ גלייכונג צו באַשטימען די גרענעץ־ליניע: פֿאַר \(3x - y < 7\), איז די גרענעץ־ליניע \(3x - y = 7\)
