ביישפּיל פֿון אַ דיסקוסיע־פֿראַגע וועגן דעם ערוואַרטעטן ווערט פֿון דער בינאָמיאַלער פֿאַרטיילונג

בייַשפּיל פֿראַגעס וואָס דיסקוטירן דעם ערוואַרטעטן ווערט פֿון דער בינאָמיאַלער פֿאַרטיילונג

די בינאמיאלע פארטיילונג איז א דיסקרעטע פארטיילונג וואס ווערט אפט גענוצט אין סטאטיסטיק צו באשרייבן די ווארשיינליכקייט פון א געגעבענע צאל הצלחות אין א צאל זעלבשטענדיג דורכגעפירטע פארזוכן. די פארטיילונג איז זייער נוצלעך אין פארשידענע פעלדער, ווי עקאנאמיק, ביאלאגיע, און די סאציאלע וויסנשאפטן. איין וויכטיגע באגריף צו פארשטיין אין דער בינאמיאלע פארטיילונג איז ערווארטעטע ווערט. דער ארטיקל וועט דיסקוטירן דעם באגריף פון ערווארטעטע ווערט אין דער בינאמיאלע פארטיילונג דורך עטלעכע ביישפיל פראבלעמען און זייער דיסקוסיע.

דעפֿיניציע פֿון בינאָמיאַלער פֿאַרשפּרייטונג

די בינאמיאלע פארטיילונג באשרייבט די צאל הצלחות אין \(n \) פארזוכן וואָס האָבן צוויי מעגלעכע רעזולטאַטן: הצלחה אָדער דורכפאַל. די פארטיילונג ווערט כאַראַקטעריזירט דורך צוויי הויפּט פּאַראַמעטערס:
– \(n \): צאָל פּראָבעס
– \(p \): וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה אין אַן איינציקן פּראָצעס

די פארטיילונג ווערט אָפט באַצייכנט ווי B(n, p). די וואַרשיינלעכקייט מאַסע פונקציע (PMF) פון דער בינאָמיאַל פארטיילונג איז:
\[ פּ(קס = ק) = \בינאָם{n}{ק} פּ^ק (1-פּ)^{נק} \]
וואו \( \binom{n}{k} \) איז דער בינאָמיאַלער קאָעפֿיציענט, וואָס ווערט קאַלקולירט ווי:
\[ \binom{n}{ק} = \frac{n!}{ק!(נק)!} \]

ערוואַרטעטע ווערט אין בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג

דער ערוואַרטעטער ווערט פון אַ בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג איז די דורכשניטלעכע צאָל פון סוקסעסן אין \(n \) פּראָבעס, און ווערט פאָרמולירט ווי:
\[ E(X) = n \מאל p \]

בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע

בייַשפּיל קשיא 1

פראגע:
לאָמיר זאָגן אַז אַ פֿאָרשער פֿירט דורך אַן עקספּערימענט און פּלאַנצט 10 יונגע זוימען, יעדע מיט אַ 0.7 וואַרשיינלעכקייט פֿון וואוקס. וואָס איז די ערוואַרטעטע צאָל יונגע זוימען וואָס וועלן וואַקסן?

פֿאַרעפֿנטלעכט:
עס איז באַקאַנט:
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.7 \)

דער ערוואַרטעטער ווערט, \( E(X) \), ווערט אויסגערעכנט ווי:
\[ E(X) = n \מאל p \]
[E(X) = 10 × 0.7]
\[ E(X) = 7 \]

אַזוי, דער ערוואַרטעטער ווערט פון דער צאָל זוימען וואָס וואַקסן איז 7 זוימען.

בייַשפּיל קשיא 2

פראגע:
אין אַן עקזאַמען, איז די וואַרשיינלעכקייט אַז אַ תּלמיד ענטפֿערט ​​יעדע פֿראַגע ריכטיק 0.8. אויב עס זענען 15 פֿראַגעס אין דער עקזאַמען, וואָס איז די ערוואַרטעטע צאָל ריכטיקע ענטפֿערס?

פֿאַרעפֿנטלעכט:
עס איז באַקאַנט:
– \(n = 15 \)
– \(p = 0.8 \)

דער ערוואַרטעטער ווערט, \( E(X) \), ווערט אויסגערעכנט ווי:
\[ E(X) = n \מאל p \]
[E(X) = 15 × 0.8]
\[ E(X) = 12 \]

אַלזאָ, דער ערוואַרטעטער ווערט פֿון דער צאָל ריכטיקע ענטפֿערס איז 12 פֿראַגעס.

בייַשפּיל קשיא 3

פראגע:
א דרוקעריי פראדוצירט בלעטער פאפיר מיט א ווארשיינליכקייט פון 0.02 דעפעקטן. אין איין ארבעטס טאג פראדוצירט די פאבריק 500 בלעטער פאפיר. וואס איז די ערווארטעטע צאל דעפעקטיווע בלעטער פאפיר אין איין טאג?

פֿאַרעפֿנטלעכט:
עס איז באַקאַנט:
– \(n = 500 \)
– \(p = 0.02 \)

דער ערוואַרטעטער ווערט, \( E(X) \), ווערט אויסגערעכנט ווי:
\[ E(X) = n \מאל p \]
[E(X) = 500 × 0.02]
\[ E(X) = 10 \]

אַלזאָ, דער ערוואַרטעטער ווערט פֿון דער צאָל דעפֿעקטיווע בלעטער פּאַפּיר אין איין טאָג איז 10 בלעטער.

אויסברייטונג פון קאנצעפטן אין פארשטאנד

1. וואַריאַנס און סטאַנדאַרד דעוויאַציע:
אין צוגאב צו דעם ערווארטעטן ווערט, איז עס אויך וויכטיג צו פארשטיין די וואריאנץ און סטאנדארט דעוויאציע אין דער בינאמיאלער פארטיילונג. די וואריאנץ פון דער בינאמיאלער פארטיילונג ווערט פארמולירט ווי:
\[ \text{Var}(X) = n \times p \times (1 – p) \]
די סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז די קוואַדראַט וואָרצל פון די וואַריאַנס:
\[ \text{SD}(X) = \sqrt{n \times p \times (1 – p)} \]

2. אַפּליקאַציע אין סטאַטיסטיק עקזאַמען:
אין אקאדעמישע עקזאַמענס אדער טעסטן, קען מען ניצן ערוואַרטעטע סקאָרס צו מעסטן די ערוואַרטעטע דורכשניטלעכע סקאָר פון אַ סטודענט אדער גרופּע סטודענטן, וואָס העלפֿט אין דער אַנאַליז פון בילדונגקרייז לערנפּראָגראַמען און דער אַסעסמענט פון לערנען-עפעקטיווקייט.

3. פאַל שטודיעס אין עפּידעמיאָלאָגיע:
למשל, אין א שטודיע פון ​​קראנקהייט איבערטראגונג, קען די ווארשיינליכקייט פון א פאציענט וואס וועט זיך אויסהיילן מאדעלירט ווערן מיט א בינאמיאלע פארטיילונג. וויסן דעם ערווארטעטן ווערט ערלויבט געזונטהייט פראפעסיאנאלן צו פלאנירן די נויטיגע מעדיצינישע רעסורסן באזירט אויף דער פאראויסגעזאגטער צאל פון אויסגעהיילטע פאציענטן.

קעסימפּולאַן

די בינאמיאלע פארטיילונג איז א וויכטיג געצייג אין סטאטיסטיק וואס העלפט באשרייבן די ווארשיינליכקייט פון הצלחה אין א סעריע פון ​​פארזוכן. דער ערווארטעטער ווערט אין דער בינאמיאלער פארטיילונג איז א שליסל באגריף וואס באשרייבט די דורכשניטליכע צאל ערווארטעטע הצלחות. דורך די דיסקוטירטע ביישפילן, קענען מיר זען ווי ערווארטעטער ווערט ווערט אויסגערעכנט און אנגעווענדעט אין פארשידענע קאנטעקסטן. א גוט פארשטאנד פון דעם באגריף ערמעגליכט פארשער און פראקטיצירער צו מאכן בעסערע פלענער און מאכן מער אינפארמירטע באשלוסן באזירט אויף ווארשיינליכקייט דאטן.

די בינאמיאלע פארטיילונג איז נישט נאר וויכטיג אין ווארשיינליכקייט טעאריע און סטאטיסטיק, נאר אויך העכסט רעלאוואנט אין א פארשיידנקייט פון פראקטישע אנווענדונגען. דעריבער, שטודירן די פארטיילונג און דעם קאנצעפט פון ערווארטעטן ווערט גיט א שטארקע יסוד אין דאטן אנאליז און באשלוס-מאכן.