בייַשפּיל פֿראַגעס וועגן פּאַראַבאָלישע קאָנישע סעקשאַנז
א קאנישער שניט איז א טייל פון א קאנישער אויבערפלאך וואס ווערט געשניטן דורך א פלאך. געאמעטרישע פארמען פון קאנישע שניטן שליסן איין קרייזן, עליפסעס, פאראבלען און היפערבאלען. אין דעם ארטיקל וועלן מיר זיך קאנצענטרירן אויף דער פאראבלע, איינע פון די מערסטע פארשפרייטע טיפן קאנישע שניטן וואס מען טרעפט אין פארשידענע פעלדער פון וויסנשאפט, ספעציעל מאטעמאטיק און פיזיק. א פאראבלע קען ווערן דעפינירט אלס א סכום פונקטן וואס זענען גלייך ווייט פון א פעסטן פונקט (דער פאקוס) און א פעסטער ליניע (די דירעקטריקס).
דעפֿיניציע פֿון פּאַראַבאָלאַ
כּדי ווייטער צו פֿאַרשטיין דעם באַגריף פֿון אַ פּאַראַבאָלע, איז נויטיק צו פֿאַרשטיין עטלעכע וויכטיקע עלעמענטן פֿון אַ פּאַראַבאָלע, נעמלעך:
1. שפּיץ (ווערטעקס): דער דרייפּונקט פֿון דער פּאַראַבאָלע וואו די פּאַראַבאָלע ענדערט קרומונג.
2. פאָקוס: א פעסטער פונקט אין דער פלאַך געניצט צו דעפינירן אַ פּאַראַבאָלע.
3. דירעקטריקס: א פיקסירטע ליניע אין דער פלאך גענוצט צו דעפינירן א פאראבאלע.
4. אַקס פון סימעטריע: א ליניע וואָס גייט דורך דעם פאָקוס און שפּיץ, און צעטיילט די פּאַראַבאָלע אין צוויי סימעטרישע טיילן.
די אַלגעמיינע גלייכונג פֿון אַ פּאַראַבאָלע וועמענס שפּיץ איז בײַם אָנהייב (0,0) קען געשריבן ווערן אין צוויי פֿאָרמען:
- האָריזאָנטאַל פּאַראַבאָלאַ: \(י^2 = 4אַקס \)
– ווערטיקאַלע פּאַראַבאָלע: \( x^2 = 4ay \)
וואו \(a\) איז די דיסטאַנץ פֿון דעם שפּיץ צום פֿאָקוס.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיעס
די פאלגענדע זענען עטלעכע בייַשפּיל פֿראַגעס און זייערע דיסקוסיעס שייך צו פּאַראַבאָלעס.
בייַשפּיל קשיא 1
פראגע:
באַשטימט די גלייכונג פֿון אַ פּאַראַבאָלע וואָס האָט אַ שפּיץ בײַם אָנהייב (0,0) און אַ פֿאָקוס בײַם פּונקט (3,0).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פֿון דער פֿראַגע, זעען מיר אַז דער פֿאָקוס פֿון דער פּאַראַבאָלע איז בײַם פּונקט (3,0). ווײַל דער פֿאָקוס איז אויף דער פּאָזיטיווער x-אַקס, ווייסן מיר אַז די פּאַראַבאָלע מוז זײַן האָריזאָנטאַל.
פֿאַר אַ האָריזאָנטאַלער פּאַראַבאָלע, ניצן מיר די אַלגעמיינע גלייכונג \( y^2 = 4ax \).
זינט דער פאָקוס איז ביי (3,0), דעמאָלט \(a = 3\).
אַזוי, די גלייכונג פון דער פּאַראַבאָלאַ איז:
[y² = 4 ⋅ 3 ⋅ x]
\[ y^2 = 12x \]
בייַשפּיל קשיא 2
פראגע:
באַשטימט די גלייכונג פֿון אַ פּאַראַבאָלע וואָס האָט אַ שפּיץ בײַם אָנהייב (0,0) און אַ דירעקטריקס x = -4.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
די דירעקטריקס פון אַ פּאַראַבאָלע איז די פֿיקסירטע ליניע וואָס איז ווייטסט פֿון דער שפּיץ, קעגן איבער דעם פֿאָקוס. אַזוי, אויב די דירעקטריקס איז x = -4, דאַן איז דער פֿאָקוס ביי (4,0).
ווידער, דאָס ווײַזט אַז די פּאַראַבאָלע איז האָריזאָנטאַל.
די דיסטאַנץ פֿון דעם שפּיץ צום פֿאָקוס, \(a = 4\).
די גלייכונג פון דער פּאַראַבאָלע איז:
[y² = 4 ⋅ 4 ⋅ x]
\[ y^2 = 16x \]
בייַשפּיל קשיא 3
פראגע:
געגעבן אַ פּאַראַבאָלע מיט דער גלייכונג \(x^2 = 8y \). באַשטימט די קאָאָרדינאַטן פון דער ווערטעקס, פֿאָקוס, און דירעקטריקס גלייכונג.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פֿון דער גלייכונג \(x^2 = 8y\), קען מען זען אַז דאָס איז אַ ווערטיקאַלע פּאַראַבאָלע.
פֿאַר אַ פּאַראַבאָלע פֿון דער פֿאָרעם \(x^2 = 4ay \), קענען מיר פֿאַרגלײַכן:
\[ 4a = 8 \]
\[a = 2 \]
דאָס ווײַזט אַז די דיסטאַנץ פֿון שפּיץ ביז פֿאָקוס איז 2.
– שפּיץ קאָאָרדינאַטן: ווײַל עס איז נישטאָ קיין פֿאַרשייבונג, בלייבט דער שפּיץ בײַם אָנהייב (0, 0).
– פאָקוס: דער פאָקוס איז אויף דער פּאָזיטיווער y-אַקס אין אַ דיסטאַנץ a פֿון דער שפּיץ, נעמלעך (0, 2).
– דירעקטריקס: די דירעקטריקס איז די ליניע y = -a, אַזוי די דירעקטריקס איז y = -2.
בייַשפּיל קשיא 4
פראגע:
באַשטימט די גלייכונג פֿון אַ פּאַראַבאָלע וואָס האָט זײַן פֿאָקוס בײַם פּונקט (0, -2) און אַ שפּיץ בײַם פּונקט (0, 0).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
די פראבלעם ווייזט אז די פאראבעלע איז ווערטיקאַל און פארקלענערט זיך (ווייל דער פאָקוס איז אונטערן שפּיץ).
פֿאַר אַ ווערטיקאַלע פּאַראַבאָלע וואָס קוקט אַראָפּ, איז די אַלגעמיינע פֿאָרעם \(x^2 = -4ay \).
די דיסטאַנץ פֿון דער שפּיץ צום פֿאָקוס, \(a = 2 \).
אַזוי, די גלייכונג פון דער פּאַראַבאָלאַ איז:
[x² = -4²Ω און y]
\[ x^2 = -8y \]
בייַשפּיל קשיא 5
פראגע:
א פּאַראַבאָלע האט די גלייכונג _(y^2 + 4y – 4x + 20 = 0_). באַשטימט די קאָאָרדינאַטן פון איר שפּיץ, פֿאָקוס און דירעקטריקס.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
שריט 1: ענדערן די פאָרעם פון דער פּאַראַבאָלאַ גלייכונג צו סטאַנדאַרט פאָרעם.
אָנהייבן דורך איבערשרייבן די גלייכונג:
\[ y^2 + 4y – 4x + 20 = 0 \]
\[ y^2 + 4y = 4x – 20 \]
שריט 2: פֿאַרענדיקט דעם פּערפֿעקטן קוואַדראַט פֿאַר דעם \(y\) טייל:
\[ y^2 + 4y + 4 = 4x – 20 + 4 \]
\[ (y + 2)^2 = 4x – 16 \]
\[ (y + 2)^2 = 4(x – 4) \]
שריט 3: פאַרגלייכן מיט דער אַלגעמיינער פֿאָרעם _( (y – k)^2 = 4a(x – h) _). אין דעם פֿאַל, _(a = 1 ), _(k = -2 ), און _(h = 4 ).
– שפּיץ קאָאָרדינאַטן: (4, -2)
– פאָקוס: זינט \(a = 1\), איז זײַן דיסטאַנץ פֿון דער שפּיץ 1 אײנהייט. דער פאָקוס איז (4+1, -2) = (5, -2).
– דירעקטריקס: די ווערטיקאַלע ליניע גייט דורך \(x = h – a = 4 – 1 = 3 \). אַזוי, די דירעקטריקס איז \(x = 3 \).
דורך פארשטיין די פארשידענע טיפן פראבלעמען און זייערע לייזונג מעטאדן, וועט אייער פארשטאנד פון פאראבלען האפענטליך פארבעסערט ווערן. פראקטיצירט פראבלעמען מיט פארשידענע פארמען און קאנפיגוראציעס צו פארשטארקן דעם באגריף. פאראבלען זענען נישט נאר א מאטעמאטישער באגריף נאר האבן אויך אסאך אנווענדונגען אין פיזיק און אינזשעניריע, אריינגערעכנט פראיעקטיל טראיעקטאריעס און פאראבאלישע רעפלעקטארן אין קאמוניקאציע סיסטעמען. וואס מער איר פראקטיצירט, אלץ מער וועט איר באהערשן דעם טעמע.
