ביישפילן פון פראגעס און דיסקוסיע פון באשטימטע אינטעגראלן
דער באַשטימטער אינטעגראַל איז אַ שליסל באַגריף אין קאַלקולוס, אָפט געניצט צו געפֿינען די שטח אונטער אַ קורווע, רעכענען דעם באַנד פון קאָמפּלעקסע אָביעקטן, און פֿאַר פילע אנדערע אַפּליקאַציעס אין אינזשעניריע און פיזיק. דיסקוטירן דעם באַשטימטן אינטעגראַל גיט ניט בלויז אַ גרונטלעכע פארשטאנד פון דעם באַגריף, נאָר אויך פארשטארקט אונדזערע מאַטעמאַטישע אַנאַליז סקילז. דער אַרטיקל האט די ציל צו צושטעלן ביישפילן פון באַשטימטע אינטעגראַל פּראָבלעמען צוזאַמען מיט דעטאַלירטע דיסקוסיעס.
גרונט־קאָנצעפּט פֿון באַשטימטן אינטעגראַל
איידער מיר גייען אריין אין די ביישפיל פראבלעמען, לאמיר איבערקוקן עטלעכע גרונטלעכע קאנצעפטן פון באשטימטע אינטעגראלן. דער באשטימטער אינטעגראל, באצייכנט מיט \(\int_a^bf(x) \, dx\), רעפרעזענטירט דעם שטח אונטער דער קורווע פון דער פונקציע \(f(x)\) פון דעם פונקט \(x = a\) ביזן פונקט \(x = b\).
מאטעמאטיש, קען מען אויסדריקן דעם באשטימטן אינטעגראל פון \(a\) ביז \(b\) פון דער פונקציע \(f(x)\) ווי פאלגנד:
[\int_a^bf(x)\, dx = F(b) – F(a)\]
וואו \(F(x)\) איז דער אַנטידעריוואַטיוו פֿון \(f(x)\).
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
לאָמיר קוקן אויף עטלעכע ביישפילן פון באַשטימטע אינטעגראַל פּראָבלעמען און זייערע דיסקוסיעס.
בייַשפּיל קשיא 1
פראגע:
רעכנט אויס דעם באַשטימטן אינטעגראַל פֿון דער פֿונקציע \(f(x) = 2x\) פֿון \(x = 1\) ביז \(x = 3\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
כדי צו לייזן דעם אינטעגראל, געפינען מיר ערשט דעם אנטידעריוואטיוו פון \(f(x) = 2x\).
דער אַנטידעריוואַטיוו פֿון 2x איז:
\[ F(x) = x^2 + C \]
אבער, אין באשטימטע אינטעגראלן דארפן מיר נישט די קאנסטאנטע פון אינטעגראציע \(C\).
איצט, ניצט די גרענעצן פון אינטעגראלן צו רעכענען:
[\int_1^3 2x \, dx = F(3) – F(1) \]
רעכנט אויס דעם ווערט פון \(F(x)\) אויף די גרענעצן:
\[ F(3) = 3^2 = 9 \]
\[ F(1) = 1^2 = 1 \]
אזוי,
[\int_1^3 2x \, dx = 9 – 1 = 8 \]
בייַשפּיל קשיא 2
פראגע:
רעכנט אויס דעם באַשטימטן אינטעגראַל פֿון דער פֿונקציע \(f(x) = x^2 + 1\) פֿון \(x = 0\) ביז \(x = 2\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
געפינט דעם אַנטידעריוואַטיוו פון \(f(x) = x^2 + 1\).
די אַנטידעריוואַטיוו פון \(x^2\) איז:
\[ \frac{1}{3}x^3 \]
דער אַנטידעריוואַטיוו פֿון 1 איז x.
אַזוי, די אַנטידעריוואַטיוו פון \(f(x)\) איז:
[F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x \]
איצט, ניצט די גרענעצן פון אינטעגראלן צו רעכענען:
[\int_0^2 (x^2 + 1)\, dx = F(2) – F(0)\]
רעכנט אויס דעם ווערט פון \(F(x)\) אויף די גרענעצן:
[ F(2) = \frac{1}{3}(2)^3 + 2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} \]
\[ F(0) = \frac{1}{3}(0)^3 + 0 = 0 \]
אזוי,
[\int_0^2 (x^2 + 1)\, dx = \frac{14}{3} – 0 = \frac{14}{3}\]
בייַשפּיל קשיא 3
פראגע:
רעכנט אויס דעם באַשטימטן אינטעגראַל פֿון דער פֿונקציע \(f(x) = e^x\) פֿון \(x = 1\) ביז \(x = 2\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
געפינט דעם אַנטידעריוואַט פֿון \(f(x) = e^x\).
די אַנטידעריוואַטיוו פון \(e^x\) איז \(e^x\).
איצט, ניצט די גרענעצן פון אינטעגראלן צו רעכענען:
[\int_1^2 e^x \, dx = F(2) – F(1) \]
רעכנט אויס דעם ווערט פון \(F(x)\) אויף די גרענעצן:
\[ F(2) = e^2 \]
\[ F(1) = e^1 = e \]
אזוי,
[\int_1^2 e^x \, dx = e^2 – e \]
בייַשפּיל קשיא 4
פראגע:
רעכנט אויס דעם באַשטימטן אינטעגראַל פֿון דער פֿונקציע \(f(x) = \sin(x)\) פֿון \(x = 0\) ביז \(x = π\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
געפינט דעם אַנטידעריוואַט פֿון ∫f(x) = ∫sin(x)∫.
די אַנטידעריוואַטיוו פֿון \(sin(x)\) איז \(-cos(x)\).
איצט, ניצט די גרענעצן פון אינטעגראלן צו רעכענען:
[\int_0^π \sin(x) \, dx = F(π) – F(0) \]
רעכנט אויס דעם ווערט פון \(F(x)\) אויף די גרענעצן:
\[ F(\פּי) = -\קאָס(\פּי) = -(-1) = 1 \]
\[ F(0) = -\cos(0) = -1 \]
אזוי,
[\int_0^\pi \sin(x) \, dx = 1 – (-1) = 1 + 1 = 2 \]
בייַשפּיל קשיא 5
פראגע:
רעכנט אויס דעם באַשטימטן אינטעגראַל פֿון דער פֿונקציע \(f(x) = \frac{1}{x}\) פֿון \(x = 1\) ביז \(x = e\).
פֿאַרעפֿנטלעכט:
געפינט דעם אַנטידעריוואַטיוו פון ∫(f(x) = 1/x).
דער אַנטידעריוואַטיוו פֿון \(\frac{1}{x}\) איז \(\ln|x|\).
איצט, ניצט די גרענעצן פון אינטעגראלן צו רעכענען:
[\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = F(e) – F(1) \]
רעכנט אויס דעם ווערט פון \(F(x)\) אויף די גרענעצן:
\[ F(e) = \ln(e) = 1 \]
\[ F(1) = \ln(1) = 0 \]
אזוי,
[\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = 1 – 0 = 1 \]
קעסימפּולאַן
דורך די ביישפילן פון אויבן, האבן מיר געאיבט צו געפינען באשטימטע אינטעגראלן פון פארשידענע עלעמענטארע פונקציעס. אין יעדן שריט, איז וויכטיג ערשט צו געפינען דעם אנטי-דעריוואטיוו און דערנאך ניצן די גרענעצן פון דעם אינטעגראל צו געפינען דעם לעצטן ווערט.
באַשטימטע אינטעגראַלן שפּילן אַ וויכטיקע ראָלע אין פילע פעלדער פון שטודיע און פּראַקטישע אַפּליקאַציעס. פֿאַרשטיין דעם באַגריף און פּראַקטיצירן מיט פֿאַרשידענע ביישפילן וועט באַדייטנד פֿאַרשטאַרקן אייערע מאַטעמאַטישע סקילז.
