בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע פֿון בינאָמיאַלער פֿאַרשפּרייטונג
די בינאָמיאַלע פאַרשפּרייטונג איז איינע פון די מערסט אָפט גענוצטע דיסקרעטע וואַרשיינלעכקייט פאַרשפּרייטונגען. עס איז זייער נוצלעך פֿאַר מאָדעלירן די צאָל פון סוקסעסן אַריבער אַ צאָל אידענטישע, אומאָפּהענגיקע פּראָבעס, יעדער פון וועלכע פּראָדוצירט אָדער אַ סוקסעס אָדער אַ דורכפאַל. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר זיך טיפער אַריינלאָזן אין דער בינאָמיאַלע פאַרשפּרייטונג דורך צושטעלן עטלעכע ביישפילן און אַ דעטאַלירטע דיסקוסיע.
הקדמה צו בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג
הויפּט קעראַקטעריסטיקס פון בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג:
1. n: צאָל פון פּראָבעס אָדער איבערחזרונגען.
2. p: וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה אין יעדן פּראָצעס.
3. q = 1-p : ווארשיינליכקייט פון דורכפאל אין יעדן פארזוך.
די וואַרשיינלעכקייט מאַסע פונקציע פון די בינאָמיאַל פאַרשפּרייטונג איז:
\[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]
די מאנא:
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \(X \): א צופֿעליקע וועריאַבל וואָס רעפּרעזענטירט די צאָל סוקסעסן.
– \(k \): די צאָל געזוכטע הצלחות.
בייַשפּיל פֿראַגן און דיסקוסיע
לאָמיר אָנהייבן מיט עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען צו פֿאַרשטיין דעם באַגריף פֿון בינאָמיאַל פֿאַרשפּרייטונג אין מער דעטאַל.
בייַשפּיל 1: אויסקלייבן פֿון אַ גרופּע סטודענטן
למשל, לאָמיר זאָגן מיר האָבן אַ גרופּע פֿון 10 סטודענטן, און די וואַרשיינלעכקייט אַז יעדער סטודענט ווערט אויסגעקליבן צו אָנטיילנעמען אין אַ קאָנקורס איז 0,3. מיר ווילן וויסן די וואַרשיינלעכקייט אַז פּונקט 4 סטודענטן ווערן אויסגעקליבן.
שריט 1: אידענטיפיצירן די פאראמעטערס פון דער בינאמיאלער פארטיילונג.
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.3 \)
שריט 2: ניצט די בינאמיאלע פארטיילונג צו רעכענען די ווארשיינליכקייט פון \( X = 4 \).
\[ P(X = 4) = {10 \טשאָוז 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
אויסרעכענען \( {10 \קלייב 4} \):
\[ {10 \טשאָוז 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
איצט רעכנט אויס \( (0.3)^4 \) און \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
אזוי,
[P(X = 4) = 210 ≥ 0.0081 ≥ 0.117649 (אומגעפער 0.20012)]
אַלזאָ, די וואַרשיינלעכקייט אַז פּונקט 4 סטודענטן ווערן אויסגעקליבן איז אַרום 0.20012 אָדער 20.012%.
בייַשפּיל 2: וואַרשיינלעכקייט קלענער ווי אָדער גלייך צו 2
איצט, למשל, ווערן מיר געפרעגט וועגן די וואַרשיינלעכקייט אַז ווייניקער ווי אָדער גלייך צו 2 סטודענטן וועלן אויסגעקליבן ווערן.
שריט 1: מיר דאַרפֿן אויסרעכענען \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), און \( P(X = 2) \).
– פֿאַר \(P(X = 0) \):
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \קלייַבן 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
[P(X = 0) = 1 ⋅ 1 ⋅ 0.0282475 = 0.0282475]
– פֿאַר \(P(X = 1) \):
\[ P(X = 1) = {10 \טשאָוז 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \קלייַבן 1} = 10 \]
\[ (0.3) ⋅ (0.7)^9 = 0.1210608 \]
[P(X = 1) = 10 ⋅ 0.3 ⋅ 0.1210608 = 0.3631824]
– פֿאַר \(P(X = 2) \):
\[ P(X = 2) = {10 \טשאָוז 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \קלייַבן 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 ⋅ (0.7)^8 = 0.2334744 \]
[P(X = 2) = 45 ⋅ 0.09 ⋅ 0.2334744 = 0.2334744]
שריט 2: צוזאמענרעכענען די ווארשיינלעכקייטן.
[P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]
\[P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
אַלזאָ, די וואַרשיינלעכקייט אַז ווייניקער ווי אָדער גלייך צו 2 סטודענטן ווערן אויסגעקליבן איז אַפּראָקסימאַטלי 0.7740671 אָדער 77.41%.
בייַשפּיל 3: וואַרשיינלעכקייט פון לפּחות 8
אויב אַן עקספּערימענט ווערט דורכגעפירט 12 מאָל, און די וואַרשיינלעכקייט פון הצלחה אין יעדן פּראָצעס איז 0.5, וואָס איז די וואַרשיינלעכקייט אַז לפּחות 8 סוקסעסן וועלן פּאַסירן?
שריט 1: שטעלט איין די בינאמיאלע פאראמעטערס: \(n = 12, p = 0.5 \).
שריט 2: געפינט די ווארשיינליכקייט פאר \(X ≤ 8 \).
דאָס פארלאנגט אויסרעכענען עטלעכע יחידישע וואַרשיינלעכקייטן און זיי צולייגן:
\[ פּ(רענטגענ \געק 8) = פּ(רענטגענ = 8) + פּ(רענטגענ = 9) + פּ(רענטגענ = 10) + פּ(רענטגענ = 11) + פּ(רענטגענ = 12) \]
צייל איינס ביי איינס:
– פֿאַר \(P(X = 8) \):
\[ P(X = 8) = {12 \טשאָוז 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \קלייַבן 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[P(X = 8) = 495 ⋅ 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– פֿאַר \(P(X = 9) \):
\[ P(X = 9) = {12 \טשאָוז 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \קלייַבן 9} = 220 \]
\[P(X = 9) = 220 ⋅ 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– פֿאַר \(P(X = 10) \):
\[ P(X = 10) = {12 \טשאָוז 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \קלייַבן 10} = 66 \]
\[P(X = 10) = 66 ⋅ 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– פֿאַר \(P(X = 11) \):
\[ P(X = 11) = {12 \טשאָוז 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \קלייַבן 11} = 12 \]
\[P(X = 11) = 12 ⋅ 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– פֿאַר \(P(X = 12) \):
\[ P(X = 12) = {12 \טשאָוז 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \קלייַבן 12} = 1 \]
\[P(X = 12) = 1 ⋅ 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
שריט 3: צולייגן אלע ווארשיינלעכקייטן.
\[ P(X ≤ 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \aprox 0.1938477 \]
אַלזאָ, די וואַרשיינלעכקייט אַז לפּחות 8 סוקסעסן פּאַסירן אין 12 פּראָבעס איז בעערעך 0.1938477 אָדער 19.38%.
קעסימפּולאַן
די בינאמיאלע פארטיילונג איז א יסודות'דיגער קאנצעפט אין סטאטיסטיק וואס איז קריטיש אין אסאך פראקטישע אנווענדונגען. דורך פארשטיין ווי אזוי צו רעכענען ווארשיינליכקייטן פאר פארשידענע פעלער פון דער בינאמיאלע פארטיילונג, ווי געוויזן אין די ביישפילן אויבן, קענען מיר אנווענדן דעם קאנצעפט אין רעאלע סיטואציעס. די געניטונג פארשטארקט אויך אונזער פארשטאנד פון ווי ווארשיינליכקייט סטרוקטורן ארבעטן אין א קלארן און ארגאניזירטן קאנטעקסט.
