Eğri yüzeylerde mekanik enerjinin korunumu – sorunlar ve çözümler
1. Topun A noktasındaki hızı 6 m/s, B noktasındaki hızı √92 m/s ve yerçekimi ivmesi g = 10 m/s² ise , B noktasının yüksekliği (h) nedir?
Bilinenler:
A noktasındaki topun hızı (vA) = 6 m/s
B noktasındaki topun hızı (v B ) = √92 m/s
Yerçekimi ivmesi (g) = 10 m/ s²
A noktasının yüksekliği (h A ) = 5.6 metre
B'nin yüksekliği (h B ) = h
Aranan: B noktasının yüksekliği (h)
Çözüm :
İlk mekanik enerji = yerçekimi potansiyel enerjisi
A noktasında topun hızı = 0, dolayısıyla topun kinetik enerjisi = 0. KE = 1/2 mv² = 1/2 m (0) = 0.
Top 5.6 metre yükseklikte olduğundan, topun yerçekimi potansiyel enerjisi vardır. Yerçekimi potansiyel enerjisi : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m
İlk mekanik enerji = yerçekimi potansiyel enerjisi + kinetik enerji = 56 m + 0 = 56 m
Son mekanik enerji = yerçekimi potansiyel enerjisi + kinetik enerji
B noktasında topun yüksekliği h'dir. Yerçekimi potansiyel enerjisi: PE = mgh = m (10) h = 10 mh
Topun kinetik enerjisi: KE = 1/2 mv² = 1/2 m (√92) ² = 1/2 m (92) = 46 m
Son mekanik enerji = yerçekimi potansiyel enerjisi + kinetik enerji = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Mekanik enerjinin korunumu ilkesi:
İlk mekanik enerji = son mekanik enerji
56 m = m (10 h + 46)
56 = 10 saat + 46
56 – 46 = 10 saat
10 = 10 saat
h = 10/10
h = 1 metre
2.
Başlangıç hızı 0 ise ve yerçekimi ivmesi 10 m/s² ise , B yüksekliğindeki hız nedir?
Bilinenler:
Başlangıç hızı (v o ) = 0
Başlangıç yüksekliği (h o ) = 50 m – 10 m = 40 m
Son yükseklik (h t ) = 0
Yerçekimi ivmesi (g) = 10 ms⁻²
Aranan: Son hız (v t )
Çözüm :
Kinetik enerjideki değişim:
ΔKE = 1/2 m (v t 2 – v Ö 2 ) = 1/2 m (v t 2 – 0) = 1/2 mv t 2
Potansiyel enerjideki değişim:
ΔPE = mg (h t – h o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m
Mekanik enerjinin korunumu ilkesi denklemini kullanarak son hızı (v t ) hesaplayın :
0 = ΔKE + ΔPE
0 = 1/2 mv t 2 – 400 m
1/2 mv t 2 = 400 m
1/2 v t 2 = 400
v t 2 = 2(400)
v t = √(400)(2)
v t = 20√2 m/s
- “Mekanik enerjinin korunumu” ile ne kastedilmektedir?
- Cevap: Mekanik enerjinin korunumu, izole edilmiş bir sistemin toplam mekanik enerjisinin (kinetik ve potansiyel enerjinin toplamı), yalnızca yerçekimi gibi koruyucu kuvvetler etki ettiğinde sabit kalması anlamına gelir.
- Eğri bir yüzey üzerinde hareket eden bir cisim (örneğin eğri bir rampadan aşağı yuvarlanan bir top) mekanik enerjisini nasıl korur?
- Cevap: Cisim kavisli yüzeyde aşağı doğru hareket ederken, potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüşür, ancak sürtünme gibi koruyucu olmayan kuvvetlerin iş yapmadığı varsayıldığında, toplam mekanik enerji sabit kalır.
- Eğer bir top, eğimli bir rampanın tepesinden hareketsiz halde bırakılırsa, rampadan aşağı doğru hareket ederken kinetik enerjisi nasıl değişir?
- Cevap: Top, rampadan aşağı doğru hareket ederken potansiyel enerjisi azalıp kinetik enerjiye dönüştüğü için kinetik enerjisi artar.
- Sürtünmenin olmadığı bir durumda, kavisli bir kaydırağın altındaki topun hızı, aynı yükseklikteki düz bir kaydırağın altındaki topun hızıyla nasıl karşılaştırılır?
- Cevap: Topun en alt noktadaki hızı, hem kavisli hem de düz kaymalarda aynı olurdu çünkü potansiyel enerjinin kinetik enerjiye dönüşümü sadece dikey yüksekliğe bağlıdır, izlenen yola değil.
- Bir top, belirli bir yükseklikten aşağıya doğru indikten sonra kavisli bir rampadan yukarı yuvarlandığında neden orijinal yüksekliğine geri dönmeyebilir?
- Cevap: Eğer top üzerinde sürtünme gibi koruyucu olmayan kuvvetler etki ediyorsa, bu kuvvetler hareketin tersine iş yaparak topun mekanik enerjisinin bir kısmını ısı gibi başka enerji biçimlerine dönüştürür. Sonuç olarak, top orijinal yüksekliğine ulaşmak için yeterli enerjiye sahip olmayabilir.
- Eğer iki farklı şekilli cisim (örneğin, bir küre ve bir küp) aynı yükseklikten kavisli bir rampadan yuvarlanmadan aşağı kayarsa, rampanın dibinde aynı hıza sahip olurlar mı? Neden?
- Cevap: Evet, en alt noktada aynı hıza sahip olacaklar. Yuvarlanma ve sürtünme olmadığını varsayarsak, hızlarını belirleyen tek faktör, şekilleri değil, başlangıç yüksekliğine bağlı olarak enerji korunumu ilkesidir.
- Bir yüzeyin eğriliği, o yüzey üzerinde hareket eden bir cisme etki eden normal kuvveti nasıl etkiler?
- Cevap: Eğrilik, cisim hareket ettikçe normal kuvvetin yönünün değişmesine neden olur. Yukarı doğru içbükey bir yüzeyde (bir kase içi gibi), eğrisel hareket için gerekli olan merkezcil kuvvet nedeniyle normal kuvvet altta daha büyüktür. Tersine, dışbükey bir yüzeyde, normal kuvvet en üst noktada azalabilir veya hatta sıfır olabilir (cisim yüzeyden ayrılır).
- Eğri bir yüzeyde mekanik enerjinin korunumu sürecinde eğrilik yarıçapının rolü nedir?
- Cevap: Eğrilik yarıçapı, mekanik enerjinin korunumu üzerinde doğrudan bir etkiye sahip değildir. Bununla birlikte, normal kuvveti ve sürtünme varsa, koruyucu olmayan kuvvetlere bağlı olarak kaybedilen enerji miktarını etkileyebilir.
- Eğer bir rayın ortasında bir çukur (U şeklinde bir viraj gibi) varsa, bir cismin bu çukurdan geçerken ve diğer tarafa çıkarken mekanik enerjisi nasıl değişir?
- Cevap: Cisim çukura doğru hareket ederken potansiyel enerjisi azalacak, kinetik enerjisi ise artacaktır. Diğer tarafa doğru hareket ederken kinetik enerjisi azalacak, potansiyel enerjisi ise artacaktır. Sadece koruyucu kuvvetler etkili olursa, toplam mekanik enerji hareket boyunca sabit kalır.
- Bir cisim, eğri bir yüzey üzerinde hareket ederken hem öteleme hem de dönme kinetik enerjisine sahip olabilir mi?
- Cevap: Evet, bir top gibi bir cisim kavisli bir yüzey üzerinde (kaymadan) yuvarlanırsa, kütle merkezinin hareketinden dolayı öteleme kinetik enerjisine ve kendi ekseni etrafında dönmesinden dolayı dönme kinetik enerjisine sahip olacaktır.
