เวกเตอร์หน่วย – ปัญหาและวิธีแก้ปัญหา

เวกเตอร์หน่วย – ปัญหาและวิธีแก้ปัญหา

1. วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว ความเร็ว โดยที่ v = (2i − 1.5j) m/s ค่าของ v คืออะไร การกำจัด ของวัตถุหลังจาก 4 วินาที?

เป็นที่รู้จัก :

ส่วนประกอบแนวนอนของความเร็ว (v)_x) = 2 ม./วินาที

ส่วนประกอบแนวตั้งของความเร็ว (v)_y) = 1.5 ม./วินาที

ช่วงเวลา (t) = 4 วินาที

เป็นที่ต้องการ : การกำจัด

วิธีการแก้ปัญหา:

ผลลัพธ์ของความเร็ว (v) :

การเคลื่อนย้าย :

s = vt = (2.5 m/s)(4 s)

s = 10 เมตร

2. เวกเตอร์ F₁ = 14 N และ F₂ = 10 N. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ ถ้ากำหนดไว้ใน R = i + j

วิธีการแก้ปัญหา:

ส่วนประกอบของเวกเตอร์:

F_1x = (เอฟ₁)(cos 60^o) = (14)(0.5) = -7 N (ค่าลบเนื่องจากส่วนประกอบเวกเตอร์นี้ชี้ไปตามแกน x ลบ (ไปทางซ้าย))

F_1y = (เอฟ₁)(sin 60^o) = (14)(0.5√3) = 7√3 N (เป็นบวกเพราะส่วนประกอบเวกเตอร์นี้ชี้ไปตามแกน y บวก (ไปทางขวา))

F_2x = 10 น

F_2y = 0

ส่วนประกอบของเวกเตอร์ลัพธ์:

F_x = ฉ_1x + F_2x + F_3x = -7 + 10 = 3 N

F_y = ฉ_1y + F_2y + F_3y = 7√3 + 0 = 7√3 N

เวกเตอร์ลัพธ์ในเวกเตอร์หน่วย:

R = 3 i + 7√3 j

1. เวกเตอร์หน่วยคืออะไร? คำตอบเวกเตอร์หน่วย คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 โดยทั่วไปแล้ว เวกเตอร์หน่วยจะแสดงทิศทางโดยไม่แสดงข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับขนาด
2. เหตุใดเวกเตอร์หน่วยจึงมีความสำคัญในคณิตศาสตร์เวกเตอร์และฟิสิกส์? คำตอบเวกเตอร์หน่วยมีความสำคัญอย่างยิ่ง เพราะเป็นวิธีการมาตรฐานในการอธิบายทิศทาง สามารถปรับขนาดเวกเตอร์หน่วยให้ได้ความยาวที่ต้องการในทิศทางที่เฉพาะเจาะจงได้
3. จะได้เวกเตอร์หน่วยจากเวกเตอร์ที่กำหนดให้ได้อย่างไร? คำตอบเวกเตอร์หน่วยในทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ที่กำหนดให้ สามารถหาได้โดยการหารเวกเตอร์นั้นด้วยขนาดของมัน
4. เวกเตอร์หน่วยมาตรฐานในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนคืออะไร และมีทิศทางอย่างไร? คำตอบเวกเตอร์หน่วยมาตรฐานในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ได้แก่ i, jและ k. i ชี้ไปในทิศทางของแกน x j ชี้ไปในทิศทางของแกน y และ k ชี้ไปในทิศทางของแกน z
5. เวกเตอร์หน่วยสามารถมีส่วนประกอบอื่นที่ไม่ใช่ 1 หรือ -1 ได้หรือไม่? คำตอบใช่แล้ว ส่วนประกอบของเวกเตอร์หน่วยขึ้นอยู่กับทิศทางของมัน มีเพียงเวกเตอร์หน่วยเท่านั้นที่วางตัวขนานกับแกนพิกัด (เช่น i, j, k (ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน) จะมีส่วนประกอบเป็น 1, -1 หรือ 0
6. ผลรวมของเวกเตอร์หน่วยสองตัวจำเป็นต้องเป็นเวกเตอร์หน่วยเสมอไปหรือไม่? คำตอบไม่ โดยทั่วไปแล้ว ผลรวมของเวกเตอร์หน่วยสองตัวจะไม่ใช่เวกเตอร์หน่วย เว้นแต่ว่าเวกเตอร์ทั้งสองจะอยู่บนเส้นตรงเดียวกันและมีทิศทางตรงข้ามกัน
7. เวกเตอร์หน่วยสามารถปรับขนาดเพื่อแสดงเวกเตอร์ที่มีขนาดต่างกันแต่ทิศทางเดียวกันได้หรือไม่? คำตอบใช่แล้ว การคูณเวกเตอร์หน่วยด้วยสเกลาร์จะทำให้ขนาดของเวกเตอร์เปลี่ยนไป แต่ทิศทางยังคงเดิม
8. ขนาดของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์หน่วยสองตัวมีค่าเท่าใด? คำตอบขนาดของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์หน่วยสองตัวเท่ากับค่าไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง ค่าสูงสุดคือ 1 เมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน และค่าต่ำสุดคือ 0 เมื่อเวกเตอร์ขนานกัน
9. เหตุใดผลคูณดอทของเวกเตอร์หน่วยสองตัวจึงให้ค่าโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง? คำตอบสูตรผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวคือ ผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ทั้งสองกับค่าโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองเป็นเวกเตอร์หน่วย ขนาดของเวกเตอร์ทั้งสองจะมีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้นผลคูณดอทจึงลดรูปเหลือเพียงค่าโคไซน์ของมุมเท่านั้น

10. แนวคิดของเวกเตอร์หน่วยสามารถขยายไปสู่ระบบพิกัดที่ไม่ใช่คาร์ทีเซียนได้อย่างไร? คำตอบในระบบพิกัดที่ไม่ใช่ระบบคาร์ทีเซียน เช่น พิกัดทรงกลมหรือพิกัดทรงกระบอก จะมีเวกเตอร์หน่วยที่แตกต่างกันซึ่งสอดคล้องกับทิศทางพิกัดแต่ละทิศทาง ตัวอย่างเช่น ในพิกัดทรงกลม เวกเตอร์หน่วยคือ r (ทิศทางรัศมี) θ (ทิศทางมุมเชิงขั้ว) และ φ (ทิศทางเชิงมุม)