Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи функсияи тақсимоти муқаррарӣ
Тақсимоти муқаррарӣ, ки бо номи тақсимоти Гаусс низ маълум аст, яке аз тақсимоти эҳтимолияти асосӣ дар омор ва таҳлили маълумот мебошад. Ин тақсимот бо каҷи зангӯлаи симметрӣ дар атрофи миёна тавсиф мешавад, ки паҳншавии маълумот инҳирофи стандартии арзишҳоро дар атрофи он инъикос мекунад. Тақсимоти муқаррарӣ асоси бисёр мафҳумҳо дар омори истилоҳотӣ мебошад ва дар соҳаҳои гуногун, аз ҷумла иқтисод, психология ва илмҳои иҷтимоӣ, васеъ истифода мешавад.
Дар ин мақола, мо баъзе мисолҳои масъалаҳо ва роҳҳои ҳалли онҳоро барои беҳтар фаҳмидани функсияи тақсимоти муқаррарӣ баррасӣ хоҳем кард.
Мафҳумҳои асосии тақсимоти муқаррарӣ
Тақсимоти муқаррарӣ бо ду параметри асосӣ тавсиф карда мешавад:
1. Миёна (μ): Миёнаи маҷмӯи додаҳо.
2. Инҳирофи стандартӣ (σ): чен мекунад, ки паҳншавии маълумот дар атрофи миёна чӣ қадар аст.
Функсияи зичии эҳтимолияти тақсимоти муқаррарӣ чунин аст:
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \]
Инҳоянд чанд қадамҳои асосӣ барои ҳалли масъалаҳо бо истифода аз тақсимоти муқаррарӣ:
1. Муайян кардани арзиши Z: Арзиши Z ченаки он аст, ки маълумот то чӣ андоза аз миёна дар воҳидҳои инҳирофи стандартӣ дур аст ва бо истифода аз формулаи зерин ҳисоб карда мешавад:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
2. Истифодаи ҷадвали Z: Ҷадвали Z ё ҷадвали тақсимоти стандартии муқаррарӣ барои ёфтани эҳтимолият ё фоизи додаҳое, ки аз арзиши муайяни Z поён ё болотаранд, истифода мешавад.
Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи тақсимоти муқаррарӣ
Саволи 1
Синф ба ҳисоби миёна холҳои имтиҳони математика 70 ва инҳирофи стандартӣ 10 дорад. Агар холҳои имтиҳон ба таври муқаррарӣ тақсим карда шаванд, чанд фоизи хонандагон аз 85 зиёдтар хол гирифтанд?
Муҳокима:
1. Муайян кардани холҳои Z: Аввал, холҳои Z-ро барои X = 85 ҳисоб кунед.
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{85 - 70}{10} = 1.5 \]
2. Нигоҳ ба ҷадвали Z: Мо арзиши эҳтимолияти Z = 1.5-ро аз ҷадвали Z меҷӯем. Арзиши эҳтимолият барои Z = 1.5 0.9332 аст. Ин маънои онро дорад, ки 93.32% арзишҳо аз Z = 1.5 поёнтаранд.
3. Ҳисоб кардани фоиз: Азбаски ба мо фоизи донишҷӯёне лозим аст, ки аз 85 зиёдтар хол гирифтаанд, мо 1 – 0.9332 = 0.0668 ҳисоб мекунем.
Пас, 6.68% донишҷӯён аз 85 зиёдтар хол гирифтанд.
Саволи 2
Қади мардони болиғ дар як кишвар аз рӯи тақсимоти муқаррарӣ бо миёнаи 175 см ва инҳирофи стандартӣ 6 см муайян карда мешавад. Фоизи мардонеро муайян кунед, ки қадаш аз 170 см то 180 см аст.
Муҳокима:
1. Холи Z-ро барои 170 см муайян кунед:
\[ Z_{170} = \frac{170 – 175}{6} = – \frac{5}{6} \taxminan -0.83 \]
2. Холи Z-ро барои 180 см муайян кунед:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 175}{6} \тақрибан 0.83 \]
3. Ҷадвали Z-ро бинед:
– Эҳтимолияти Z = -0.83 0.2033 аст.
– Эҳтимолияти Z = 0.83 0.7967 аст.
4. Ҳисоб кардани фоиз:
– Эҳтимолияти қад байни 170 см ва 180 см 0.7967 – 0.2033 = 0.5934 аст.
– Пас, қади 59.34%-и мардон аз 170 то 180 см аст.
Саволи 3
Санҷиши IQ аз тақсимоти муқаррарӣ бо миёнаи 100 ва инҳирофи стандартии 15 истифода мебарад. Кадом хол ба персентил 85-ум дохил мешавад?
Муҳокима:
1. Ёфтани арзиши Z барои персентил 85-ум: Аз рӯи ҷадвали Z ё бо истифода аз ҳисобкунак, персентил 85-ум ба Z = 1.04 мувофиқат мекунад.
2. Ҳисоб кардани холҳои IQ:
\[ X = Z\sigma + \mu \]
\[X = 1.04 \зарбаи 15 + 100 \]
\[X = 15.6 + 100 \]
\[X = 115.6 \]
Пас, холҳои IQ, ки дар дохили 85-ум фоизил ҷойгиранд, тақрибан 115.6 мебошанд.
Саволи 4
Агар маълум бошад, ки холҳои миёнаи натиҷаҳои санҷиши маърифатии хонандагони мактабҳои миёна 65 бо инҳирофи стандартии 12 аст, дар 25-ум фоиз чӣ хол аст?
Муҳокима:
1. Ёфтани арзиши Z барои персентил 25-ум: Аз рӯи ҷадвали Z ё бо истифода аз ҳисобкунак, Z барои персентил 25-ум тақрибан -0.674 аст.
2. Ҳисоб кардани холҳои имтиҳон:
\[ X = Z\sigma + \mu \]
\[X = -0.674 \зарбаи 12 + 65 \]
\[X = -8.088 + 65 \]
\[X \тақрибан 56.912 \]
Пас, арзише, ки дар 25-ум фоиз аст, тақрибан 56.912 аст.
Хулоса
Тақсимоти муқаррарӣ як мафҳуми муҳим дар омор аст, ки ба мо имкон медиҳад, ки маълумотро аз нуқтаи назари эҳтимолият таҳлил ва дарк кунем. Бо истифода аз равиши тақсимоти муқаррарӣ, мо метавонем фоизҳоро ҳисоб кунем, арзишҳои мушаххасро дар асоси фоизҳо муайян кунем ва маълумотро бо миёна муқоиса кунем.
Ҳалли масъалаҳо бо тақсимоти муқаррарӣ на танҳо барои имтиҳонҳо ва таҳқиқоти илмӣ муфид аст, балки дар бисёр соҳаҳои ҳаёти воқеӣ, аз қабили психология, тиҷорат ва илмҳои иҷтимоӣ низ татбиқи амалӣ дорад. Тавассути мисолҳо ва муҳокимаҳои дар боло овардашуда, мо умедворем, ки шумо функсияи тақсимоти муқаррарӣ ва чӣ гуна татбиқ кардани онро дар заминаҳои гуногун беҳтар хоҳед фаҳмид.
