Саволҳои намунавии тригонометрия ва муҳокима
Тригонометрия як шохаи математика аст, ки муносибати байни кунҷҳо ва дарозии паҳлӯҳоро дар секунҷаҳо меомӯзад. Фаҳмидани мафҳумҳои асосии тригонометрия дар соҳаҳои гуногун, аз физика ва муҳандисӣ то астрономия ва ҷуғрофия, муҳим аст. Дар ин мақола, мо якчанд мисолҳои масъалаҳо ва шарҳҳои пурраро барои кӯмак ба фаҳмиш шарҳ медиҳем.
Намунаи саволи 1: Ҳисоб кардани паҳлӯҳои секунҷа бо истифода аз усули синус
Савол:
Секунҷаи ABC дода шудааст, ки кунҷи A = 30°, кунҷи B = 45° ва тарафи b = 10 см дорад. Дарозии тарафи a-ро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Қонуни синусҳоро истифода баред:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]
Арзишҳои маълумро ворид кунед:
\[ \frac{a}{\sin 30°} = \frac{10}{\sin 45°} \]
Мо медонем, ки:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
\[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Акнун, ин арзишҳоро ба муодила иваз кунед:
\[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Муодиларо содда кунед:
\[2a = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{2}} \]
\[ 2a = \frac{20}{\sqrt{2}} \]
Маҳраҷро асоснок кунед:
\[ 2a = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{2} \]
\[2a = 10\sqrt{2} \]
\[ a = 5\sqrt{2} \]
Пас, дарозии тарафи a ба √(5\sqrt{2}\) см баробар аст.
Намунаи саволи 2: Ҳисоб кардани кунҷҳо бо истифода аз усули косинус
Савол:
Секунҷа паҳлӯҳо дорад a = 7 см, b = 10 см ва c = 5 см. Андозаи кунҷи C-ро муайян кунед.
Муҳокима:
Қонуни косинусҳоро истифода баред:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
Арзишҳои маълумро ворид кунед:
\[5^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos C \]
Муодиларо содда кунед:
\[ 25 = 49 + 100 – 140 \cos C \]
\[25 = 149 – 140 \cos C \]
149-ро ба тарафи чап ҳаракат диҳед:
\[ 25 – 149 = -140 \cos C \]
\[ -124 = -140 \cos C \]
\[ \cos C = \frac{124}{140} \]
\[ \cos C = \frac{62}{70} \]
\[ \cos C = \frac{31}{35} \]
Барои ёфтани \( \cos^{-1} \) (косинуси баръакс) аз ҳисобкунак истифода баред:
\[ C \approx \cos^{-1}\left(\frac{31}{35}\right) \]
\[ C тақрибан 25.84° \]
Пас, андозаи кунҷи C тақрибан 25.84° аст.
Намунаи саволи 3: Ҳисоб кардани баландии секунҷа ва масоҳат
Савол:
Секунҷа ду тарафи дарозии a = 6 см ва b = 8 см дорад ва кунҷи байни онҳо, \(\тета\) = 60° аст. Баландии секунҷа ва масоҳати онро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
1. Ҳисоб кардани масоҳати секунҷа:
Формуларо барои масоҳати секунҷа истифода баред:
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} ab \sin \theta \]
Арзишҳои маълумро ворид кунед:
\[ \text{Main} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° \]
Мо медонем, ки:
\[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Пас:
\[ \матн{Майдон} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \матн{Майдон} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Area} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \матн{Майдон} = 12\sqrt{3} \]
Пас, масоҳати секунҷа 12 см² аст.
2. Ҳисоб кардани баландии секунҷа аз рӯи пояи а:
Барои ҳисоб кардани баландии секунҷа, баландиро ҳамчун h ишора кунед ва аз формулаи масоҳат истифода баред:
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times a \times h \]
\[ 12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times h \]
\[ 12\sqrt{3} = 3 соат \]
\[ h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \]
\[ h = 4\sqrt{3} \]
Пас, баландии секунҷа 3 см аст (4 см).
Намунаи саволи 4: Муайян кардани паҳлӯҳои секунҷаи росткунҷа
Савол:
Дар секунҷаи росткунҷа, ки кунҷи он 30° ва тарафи мувозии он 5 см аст, дарозии гипотенузаро муайян кунед.
Муҳокима:
Таносубҳои тригонометриро барои кунҷи 30° дар секунҷаи росткунҷа истифода баред:
\[ \sin \theta = \frac{\text{front}}{\text{гипотенуза}} \]
\[ \sin 30° = \frac{obverse}{гипотенуза} = \frac{5}{\text{гипотенуза}} \]
Мо медонем, ки:
\[ \sin 30° = \frac{1}{2} \]
Пас:
\[ \frac{1}{2} = \frac{5}{\text{гипотенуза}} \]
\[ \text{гипотенуза} = 10 \]
Пас, дарозии гипотенуза 10 см аст.
Намунаи саволи 5: Ҳисоб кардани кунҷҳо бо функсияҳои тригонометрӣ
Савол:
Агар \( \tan \theta = \frac{3}{4} \), андозаи кунҷи \(\theta\)-ро ҳисоб кунед.
Муҳокима:
Бо истифода аз формулаи тангенси баръакс:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{3}{4}\right) \]
Бо ёрии калкулятор:
\[ \тета \тақрибан 36.87° \]
Пас, андозаи кунҷи тета тақрибан 36.87° аст.
Хулоса
Тригонометрия як мафҳуми васеи риёзӣ буда, дар соҳаҳои гуногун татбиқи васеъ дорад. Фаҳмидани тарзи истифодаи қонунҳои синусҳо, косинусҳо ва дигар функсияҳои асосӣ ба мо имкон медиҳад, ки масъалаҳои гуногуни марбут ба секунҷаҳо ва кунҷҳоро ҳал кунем. Тавассути мисолҳои дар боло овардашуда, умедворем, ки хонандагон фаҳмиши амиқтар пайдо мекунанд ва онро дар вазъиятҳои гуногуне, ки фаҳмиши тригонометрияро талаб мекунанд, татбиқ карда метавонанд.
