Саволҳои намунавӣ ва муҳокимаи функсияҳои афзоишёбанда, функсияҳои камшаванда ва функсияҳои статсионарӣ
Функсияҳои риёзӣ мавзӯи хеле амиқ буда, пур аз хусусиятҳои гуногун мебошанд, ки яке аз онҳо ин аст, ки чӣ гуна онҳоро аз нигоҳи ҳолатҳои афзоиш, камшавӣ ё статсионарӣ таҳлил кардан мумкин аст. Донистани он ки оё функсия дар фосилаи муайян афзоиш, камшавӣ ё доимӣ аст ё не, дар татбиқи гуногуни математика, аз ҷумла иқтисод, физика ва муҳандисӣ, муҳим аст. Дар ин мақола мисолҳо ва муҳокимаи онҳо марбут ба функсияҳои афзоиш, камшавӣ ва статсионарӣ баррасӣ карда мешаванд.
Функсияҳои афзоянда, коҳишёбанда ва функсияҳои статсионарӣ чистанд?
1. Функсияи афзоянда: Гуфта мешавад, ки функсияи \(f(x) \) дар фосилаи \(I \) афзоиш меёбад, агар барои ҳар як \(x_1 \) ва \(x_2 \) дар \(I \) бо \(x_1 < x_2 \), мо \(f(x_1) \leq f(x_2) \) дошта бошем. 2. Функсияи камшаванда: Баръакс, гуфта мешавад, ки функсияи \(f(x) \) дар фосилаи \(I \) кам мешавад, агар барои ҳар як \(x_1 \) ва \(x_2 \) дар \(I \) бо \(x_1 < x_2 \), мо \(f(x_1) \geq f(x_2) \) дошта бошем. 3. Функсияи статсионарӣ: Функсияи \(f(x) \) дар фосилаи \(I \) статсионарӣ номида мешавад, агар барои ҳар як \(x \) дар \(I \), функсия арзиши якхела дошта бошад, яъне \(f(x) = c \) барои ҳар як \(x \) дар \(I \), ки дар он c як доимӣ аст.
Мисоли 1: Муайян кардани фосилаҳои функсияҳои афзоянда бо назардошти функсияи \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). Фосилаҳои дар он ҷо функсия афзоишёбандаро муайян кунед! Баҳс: Барои муайян кардани фосилаҳое, ки дар онҳо функсия афзоиш меёбад, мо бояд ҳосилаи аввали функсияро пайдо кунем ва сипас аломати ҳосиларо таҳлил кунем. 1. Қадами 1: Ҳосилаи аввалро ёбед: \[f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Қадами 2: Нуқтаи муҳимро муайян кунед: Нуқтаи муҳим нуқтаест, ки ҳосилаи аввал сифр ё номуайян аст. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Тамоми муодиларо ба 6 тақсим кунед: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Мо ин муодилаи квадратиро ба омилҳо тақсим мекунем: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Пас, нуқтаҳои муҳим \( x = 2 \) ва \( x = -1 \) мебошанд. 3. Қадами 3: Аломати ҳосилаи аввалро дар фосилаи ташкилёфтаи нуқтаҳои муҳим муайян кунед: Мо ҷадвали аломатҳоро барои \( f'(x) \) дар фосилаҳои \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \) ва \( (2, \infty) \) эҷод мекунем. - Барои \(x \in (-\infty, -1) \): Фарз кунед, ки \(x = -2 \) \[f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] Азбаски \(f'(-2) > 0 \), пас \(f(x) \) дар фосилаи \( (-\infty, -1) \) афзоиш меёбад. – Барои \(x \in (-1, 2) \): \(x = 0 \)-ро гиред.
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
Азбаски \(f'(0) < 0 \), пас \(f(x) \) дар фосилаи \( (-1, 2) \) кам мешавад. - Барои \(x \in (2, \infty) \): Гирифта шавад, ки \(x = 3 \) \[f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] Азбаски \(f'(3) > 0 \), пас \(f(x) \) дар фосилаи \( (2, \infty) \) зиёд мешавад.
Пас, функсияи 'f(x)' дар фосилаи '(-\infty, -1)\cup(2, \infty)') афзоиш меёбад.
Мисоли масъалаи 2: Муайян кардани фосилаи функсияи коҳишёбанда
Функсияи \(g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \) дода шудааст. Фосилаҳои камшавии функсияро муайян кунед!
Муҳокима:
1. Қадами 1: Ҳосилаи аввалро ёбед:
\[ g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2) \]
\[ g'(x) = 16x^3 – 24x^2 \]
2. Қадами 2: Нуқтаи муҳимро муайян кунед:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
Пас, нуқтаҳои муҳим \(x = 0 \) ва \(x = \frac{3}{2} \) мебошанд.
3. Қадами 3: Аломати ҳосилаи аввалро дар фосила муайян кунед:
– Барои \( x \in (-\infty, 0) \): \( x = -1 \)-ро гиред.
\[ g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40 \]
Азбаски \(g'(-1) < 0 \), пас \(g(x) \) дар фосилаи \( (-\infty, 0) \) кам мешавад.
Пас, функсияи \(g(x) \) дар фосилаи \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \) кам мешавад.
Намунаи саволи 3: Муайян кардани фосилаи функсия дар ҳолати оромӣ
Бо назардошти функсияи \(h(x) = 7 \), фосилаҳоеро муайян кунед, ки дар онҳо функсия статсионар аст!
Муҳокима:
Функсияи доимӣ ба монанди \(h(x) = 7 \) барои ҳамаи \(x \) ҳосилаи якуми сифр дорад:
\[ h'(x) = 0 \]
Азбаски ҳосилаи аввал ҳамеша сифр аст, функсия дар тамоми домен статсионарӣ аст, аз ин рӯ мо метавонем бигӯем, ки функсияи \(h(x) = 7 \) дар ҳамаи ададҳои воқеӣ, ки дар қайди фосилавӣ \( (-\infty, \infty) \) аст, статсионарӣ аст.
Хулоса
Фаҳмидани фосилаҳои афзоянда, камшаванда ва статсионарии функсия қисми муҳими таҳлили функсионалӣ мебошад. Тавассути мисолҳои дар боло овардашуда, мо мафҳумҳо ва қадамҳои асосиеро, ки барои ёфтани ин фосилаҳо заруранд, баррасӣ кардем. Ин дониш дар татбиқҳои гуногуни амалӣ ва назариявии математика хеле муфид аст.
