కణాలు మరియు దృఢ వస్తువుల జడత్వ భ్రామకం – సమస్యలు మరియు పరిష్కారాలు

కణం యొక్క జడత్వ భ్రామకం

1. 30 సెం.మీ. పొడవు గల తాడు యొక్క ఒక చివరకు 100 గ్రాముల బంతి కట్టబడి ఉంది. భ్రమణ అక్షం AB దృష్ట్యా బంతి యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఎంత? తాడు యొక్క ద్రవ్యరాశిని విస్మరించండి.

తెలిసినది :

AB వద్ద భ్రమణ అక్షం

బంతి ద్రవ్యరాశి (మీ) = 100 గ్రాములు = 100/1000 = 0.1 కిలోగ్రాములు

బంతికి మరియు భ్రమణ అక్షానికి మధ్య దూరం (r) = 30 సెం.మీ = 0.3 మీ

కావలసినది: బంతి యొక్క జడత్వ భ్రామకం (I)

పరిష్కారం:

I = mr ² = (0.1 kg)(0.3 m) ²

I = (0.1 కిలోగ్రాములు)(0.09 చదరపు ^{మీటర్లు} )

I = 0.009 kg m ²

[irp]

2. 60 సెం.మీ. పొడవు గల ఒక కడ్డీ ద్వారా 100 గ్రాముల బంతి ( m₁ ₎ మరియు 200 గ్రాముల బంతి ( m₂ ₎ కలుపబడి ఉన్నాయి. కడ్డీ యొక్క ద్రవ్యరాశిని విస్మరించబడింది. భ్రమణ అక్షం కడ్డీ కేంద్రం వద్ద ఉంది. భ్రమణ అక్షం గురించి బంతి యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఎంత?

తెలిసినది :

బంతి 1 యొక్క ద్రవ్యరాశి (m ₁ ) = 100 గ్రాములు = 100/1000 = 0.1 కిలోగ్రాములు

_{బంతి 1 మరియు భ్రమణ అక్షం (r 1} ) మధ్య దూరం = 30 సెం.మీ = 30/100 = 0.3 మీ

బంతి ద్రవ్యరాశి (m ₂ ) = 200 గ్రాములు = 200/1000 = 0.2 కిలోగ్రాములు

బంతి 2 మరియు భ్రమణ అక్షం (r _{2 )} మధ్య దూరం = 30 సెం.మీ = 30/100 = 0.3 మీ

కావలసినది: బంతుల జడత్వ భ్రామకం

సమాధానం :

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.2 kg)( 0.3 m) ²

I = (0.1 kg)( 0.09 m ² ) + (0.2 kg)( 0.09 m ² )

I = 0.009 kg m ² + 0.018 kg m ²

I = 0.027 kg m ²

[irp]

3. 60 సెం.మీ. పొడవు గల ఒక కడ్డీ ద్వారా 200 గ్రాముల బంతి, m ₁ మరియు 100 గ్రాముల బంతి, m _2, కలుపబడి ఉన్నాయి. కడ్డీ ద్రవ్యరాశిని విస్మరించండి. భ్రమణ అక్షం బంతి m ₂ వద్ద ఉంది . బంతుల జడత్వ భ్రామకం ఎంత? కడ్డీ ద్రవ్యరాశిని విస్మరించండి.

తెలిసినది :

బంతి 1 యొక్క ద్రవ్యరాశి (m ₁ ) = 200 గ్రాములు = 200/1000 = 0.2 కిలోగ్రాములు

_{బంతి 1 మరియు భ్రమణ అక్షం (r 1} ) మధ్య దూరం = 60 సెం.మీ = 60/100 = 0.6 మీ

బంతి 2 యొక్క ద్రవ్యరాశి (m ₂ ) = 100 గ్రాములు = 100/1000 = 0.1 కిలోగ్రాములు

బంతి 2 మరియు భ్రమణ అక్షం (r ₂ ) మధ్య దూరం = 0 మీ

కావలసినది : బంతుల జడత్వ భ్రామకం

పరిష్కారం:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.2 kg)( 0,6 m) ² + (0.2 kg)(0 ) ²

I = (0.2 కిలోగ్రాములు)( 0.36 మీ ² ) + 0

I = 0.072 kg m ²

[irp]

4. ప్రతి బంతి ద్రవ్యరాశి 100 గ్రాములు, అవి ఒక తాడుతో అనుసంధానించబడి ఉన్నాయి. తాడు పొడవు 60 సెం.మీ మరియు వెడల్పు 30 సెం.మీ. భ్రమణ అక్షం దృష్ట్యా బంతి యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఎంత? తాడు ద్రవ్యరాశిని విస్మరించండి.

తెలిసినది :

బంతి ద్రవ్యరాశి = m ₁ = m ₂ = m ₃ = m ₄ = 100 గ్రాములు = 100/1000 = 0.1 కిలోగ్రాములు

బంతికి మరియు భ్రమణ అక్షానికి మధ్య దూరం (r ₁ ) = 30 సెం.మీ = 30/100 = 0.3 మీ

_{బంతి 2 మరియు భ్రమణ అక్షం (r 2} ) మధ్య దూరం = 30 సెం.మీ = 30/100 = 0.3 మీ

_{బంతి 3 మరియు భ్రమణ అక్షం (r 3} ) మధ్య దూరం = 30 సెం.మీ = 30/100 = 0.3 మీ

_{బంతి 4 మరియు భ్రమణ అక్షం (r 4} ) మధ్య దూరం = 30 సెం.మీ = 30/100 = 0.3 మీ

తెలిసినది : జడత్వ భ్రామకం

పరిష్కారం:

I = m₁ r₁² + మ₂ r₂² + మ₃ r₃² + మ₄ r₄²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.1 kg)(0.3 m) ² + (0.1 kg)(0.3 m) ²

I = (0.1 kg)( 0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² )

I = 0.036 kg m ²

[irp]

దృఢ వస్తువు యొక్క జడత్వ భ్రామకం

5. 2 మీటర్ల పొడవు మరియు 2 కిలోల ద్రవ్యరాశి గల ఒక ఏకరీతి కడ్డీ యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఎంత? భ్రమణ అక్షం కడ్డీ కేంద్రం వద్ద ఉంది.

తెలిసినది :

కడ్డీ ద్రవ్యరాశి (M) = 2 కిలోగ్రాములు

కడ్డీ పొడవు (L) = 2 మీ

కావలసినది: జడత్వ భ్రామకం

పరిష్కారం:

పొడవైన ఏకరీతి కడ్డీ యొక్క కేంద్రం వద్ద భ్రమణ అక్షం ఉన్నప్పుడు జడత్వ భ్రమణ సూత్రం:

I = (1/12) ML ²

I = (1/12) (2 కిలోలు)( 2 మీ) ²

I = (1/12) (2 కిలోలు)(4 మీ ² )

I = (1/12)(8 kg m ² )

I = 8/12 kg m ²

I = 2/3 kg m ²

[irp]

6. 2 మీటర్ల పొడవు మరియు 2 కిలోల ద్రవ్యరాశి గల ఒక ఏకరీతి కడ్డీ యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఎంత? భ్రమణ అక్షం కడ్డీ యొక్క ఒక చివరన ఉంది.

తెలిసినది :

కడ్డీ ద్రవ్యరాశి (M) = 2 కిలోగ్రాములు

దృఢమైన కడ్డీ పొడవు (L) = 2 మీ

కావలసినది: జడత్వ భ్రామకం

పరిష్కారం:

భ్రమణ అక్షం కడ్డీ యొక్క ఒక చివర ఉన్నప్పుడు జడత్వ భ్రమణ సూత్రం:

I = (1/3) ML ²

I = (1/3) (2 కిలోలు)( 2 మీ) ²

I = (1/3) (2 కిలోలు)(4 మీ ² )

I = (1/3)(8 kg m ² )

I = 8/3 kg m ²

[irp]

7. 0.1 మీ వ్యాసార్థం కలిగిన 10 కిలోల ఘన స్థూపం. భ్రమణ అక్షం ఘన స్థూపం యొక్క కేంద్రం వద్ద ఉంది, ఇది క్రింది చిత్రంలో చూపబడింది. స్థూపం యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఎంత?

తెలిసినది :

ఘన స్థూపం యొక్క ద్రవ్యరాశి (M) = 10 కిలోగ్రాములు

స్థూపం యొక్క వ్యాసార్థం (L) = 0.1 మీ

కావలసినది: జడత్వ భ్రామకం

కావలసినది: జడత్వ భ్రామకం

పరిష్కారం:

భ్రమణ అక్షం స్థూపం యొక్క కేంద్రం వద్ద ఉన్నప్పుడు జడత్వ భ్రామకం యొక్క సూత్రం:

I = (1/2) MR ²

I = (1/2) (10 కిలోలు)(0.1 మీ) ²

I = (1/2) (10 కిలోలు)(0.01 మీ ² )

I = (1/2)(0.1 kg m ² )

I = 0.05 kg m ²

8. 0.1 మీ పొడవు గల 20 కిలోల ఏకరీతి గోళం. గోళం యొక్క కేంద్రం వద్ద ఉన్న భ్రమణ అక్షం క్రింది చిత్రంలో చూపబడింది.

తెలిసినది :

గోళం ద్రవ్యరాశి (M) = 20 కిలోగ్రాములు

గోళం యొక్క వ్యాసార్థం (L) = 0.1 మీ

కావలసినది: ఒక జడత్వ క్షణం

పరిష్కారం:

భ్రమణ అక్షం గోళం యొక్క కేంద్రం వద్ద ఉన్నప్పుడు జడత్వ భ్రామకం యొక్క సూత్రం:

I = (2/5) MR ²

I = (2/5)(20 కిలోలు)(0.1 మీ) ²

I = (2/5)(20 కిలోలు)(0.01 మీ ² )

I = (2/5)(0.2 kg m ² )

I = 0.4/5 kg m ²

I = 0.08 kg m ²

[irp]

9. 0.5 మీ పొడవు మరియు 0.2 మీ వెడల్పు కలిగిన 2 కిలోల దీర్ఘచతురస్రాకార పలుచని పలక. భ్రమణ అక్షం క్రింది చిత్రంలో చూపిన దీర్ఘచతురస్రాకార పలక యొక్క కేంద్రం వద్ద ఉంది. దీర్ఘచతురస్రం యొక్క జడత్వ భ్రామకం ఎంత?

తెలిసినది :

దీర్ఘచతురస్రాకార పలక ద్రవ్యరాశి (M) = 2 కిలోగ్రాములు

ప్లేట్ పొడవు (a) = 0.5 మీ

ప్లేట్ వెడల్పు (b) = 0.2 మీ

కావలసినది: జడత్వ భ్రామకం

పరిష్కారం:

భ్రమణ అక్షం పలక కేంద్రం వద్ద ఉన్నప్పుడు జడత్వ భ్రమణ సూత్రం:

I = (1/ 12 ) M (a ² + b ² )

I = (1/12)(2)(0.5 ² + 0.2 ² )

I = (2/12)(0.25 + 0.04)

I = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 kg m ²